Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic về số học, các bài toán về số học.

topic số học hay tuyệt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 174 trả lời

#161 hungnguyenhsgs2109

hungnguyenhsgs2109

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

Đã gửi 09-10-2015 - 01:13

Bài 71. Cho 2016a2 + a = 2017b+ b.CMR a-b là số chính phương với a,b >0, a,b /in N


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-10-2017 - 07:32


#162 the man

the man

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 589 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Y Hà Nội
  • Sở thích:Nhiều

Đã gửi 11-10-2015 - 14:23

Lời giải bài 71. Từ giả thiết ta có $b^2=(a-b)(2016a+2016b+1).$

 

Gọi $d=gcd(a-b;2016a+2016b+1) \rightarrow \left\{\begin{matrix}d |a-b & & \\ d|2016a+2016b+1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix}d|2016a-2016b & & \\ d|2016a+2016b+1 & & \end{matrix}\right.$

              $\rightarrow d|4032b+1$ (1)

Mặt khác $d^2|b^2\rightarrow d|b$ (2)

Từ (1) & (2) có $d|1\rightarrow d=1\rightarrow (a-b;2016a+2016b+1)=1$ mà tích của chúng là một số chính phương nên $a-b$ là một số chính phương (đpcm).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-10-2017 - 07:33

"God made the integers, all else is the work of man."

                                                Leopold Kronecker


#163 minhrongcon2000

minhrongcon2000

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 11-10-2015 - 14:45

Bài 72. Cho $a,b\in Z^{+}$ thỏa $4a^{2}-1\vdots 4ab-1$.Chứng minh rằng $a=b.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-10-2017 - 07:33

$\lim_{x \to \infty } Love =+\infty$


#164 congdan9aqxk

congdan9aqxk

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 215 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:QHH

Đã gửi 31-01-2016 - 22:48

Lời giải bài 72.

$4a^{2}-1\vdots 4ab-1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4a^{2}-1\geq 4ab-1 & \\ a(4ab-1)+a-b\vdots 4ab-1 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a\geq b & \\ a-b\vdots 4ab-1 & \end{matrix}\right.$

$$\Rightarrow \begin{bmatrix} a-b=0 & \\ a-b\geq 4ab-1(1) & \end{bmatrix}$$

Dễ thấy (1) vô lí.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-10-2017 - 07:34


#165 nhuleynguyen

nhuleynguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:---Taylor Swift ---

Đã gửi 26-10-2017 - 14:36

Bài 73.

1) Cho các số nguyên x;y sao thỏa mãn x^{3}+y^{3}=2016

Chứng minh rằng: (x+y)^{3}+3xy(x+y) chia hết cho 18.

2) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p^{2}+14 là số nguyên tố.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-10-2017 - 07:34

“Life isn't about waiting for the storm to pass...It's about learning to dance in the rain.”

#166 doctorwhoez

doctorwhoez

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Đã gửi 02-06-2018 - 09:27

Bài 73.2) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p^{2}+14 là số nguyên tố.

Xét p=3 =>p^{2}+14=23 (thỏa mãn )

Xét p=3k+1=>p^{2}+14=(3k+1)^{2}+14=3(3k^2+2k+5) là hợp số 

Xét p=3k+2=>p^{2}+14=(3k+2)^2+14=3(3k^2+4k+6) là hợp số 

=> p=3 thỏa mãn đề bài.:))



#167 doctorwhoez

doctorwhoez

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Đã gửi 02-06-2018 - 10:44

Bài 73.

1) Cho các số nguyên x;y sao thỏa mãn x^{3}+y^{3}=2016

Chứng minh rằng: (x+y)^{3}+3xy(x+y) chia hết cho 18.

giải nè :

(x+y)^{3}+3xy(x+y)=x^3+y^3+6xy(x+y)=2016+6xy(x+y) mà3 |xy(x+y)(xét mod3 )kết hợp x^3+y^3=2016 =>dpcm



#168 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 13-05-2019 - 08:26

Cho $3$ số thực $x,\,y,\,z$ với $x+ y+ z= 2$. Chứng minh rằng:

$$\left \lfloor x- \frac{1}{3} \right \rfloor+ \left \lfloor y- \frac{1}{3} \right \rfloor+ \left \lfloor z- \frac{1}{3} \right \rfloor+ 1\geqq 0\tag{HaiDangel}$$


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#169 lamgiaovien2

lamgiaovien2

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 67 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Thái Nguyên
  • Sở thích:Parkour

Đã gửi 08-06-2019 - 20:48

Topic này được lập ra là để chiêu mộ các lời giải độc đáo cho các bài toán số học hay (nhiều cách giải càng hay). Được sự ủng hộ của Juliel, mình quyết định lập ra topic này để trao đổi với các bạn về các vấn đề xung quanh số học, vốn cũng là một đề tài khá nóng hổi trong toán học. Mình sẽ cố gắng đưa ra nhiều bài toán hay và lạ (có thể là sưu tầm từ đâu đó, nếu là của mem trên diễn đàn mình sẽ nhập tên (khuyến khích lời giải sáng tạo, khác so với lời giải đã từng có), cũng có thể là do mình nghĩ ra). Rất mong được các bạn trên diễn đàn ủng hộ.

Sau đây mình xin nói sơ lược về số học: Số học là một bộ môn ra đời sớm hơn hết thảy các bộ môn khác. Các nhà toán học luôn tìm hiểu về quy luật của các con số, từ đó rút ra được các hiện tượng. Không phải bài toán số học nào cũng dễ nhận ra lời giải. Chẳng hạn như các bài toán lớn của Fermat. Theo như tôi bít thì Fermat có rất nhiều công trình vĩ đại trong hầu hết các lĩnh vực của toán học. Tuy nhiên cảm hứng của ông lại chính là lý thuyết số (nhờ cảm hứng từ cuốn "Số học" của Diophante). Ông có rất nhiều công trình vĩ đại trong lý thuyết số. Đặc bịt là bài toán lớn của Fermat ("Định lí cuối cùng của Fermat" của Simon Singh (các bạn nên đọc thử)) mà rất nhiều người bít:

Phương trình $x^{n}+y^{n}=z^{n};n=3,4,5,...$ vốn ko thể có nghiệm nguyên (x; y; z) khác 0.

Bài toán đã thách thức bộ óc nhiều thế hệ các nhà toán học.

Nói nhiu đây thôi. Tóm lại rất mong được trao đổi cũng các bạn. Sau đây là 2 bài đầu tiên:

Bài 1: Tồn tại hay ko số n sao cho số có dạng 2012201220122012...2012 (n số 2012 viết liên tiếp nhau) chia hết cho 2011?

Bài 2: Tìm ba chữ số tận cùng của số $1993^{1994^{1995^{...^{2000}}}}$.

Bài 1: Gọi số có dạng 201220122012...2012 (n số 2012) là F(n)

Theo diriclet trong các số F(1), F(2), F(3)...F(2012) sẽ tồn tại ít nhất 2 số sao cho 2 số có cùng số dư khi chia cho 2011, Ta gọi 2 số đó là F(x), F(y) (x < y)

==> F(y) - F(x) chia hết cho 2011, F(y) - F(x) có dạng 20122012....201200000000 (4*k số 0), gọi số này là A

Lấy A chia cho 10^(4*k) ta được số có dạng 20122012...2012, gọi số này là B

Vì 10^(4*k) luôn không chia hết cho 2011 vậy B chia hết cho 2011, DONE!!


smt


#170 HienYo

HienYo

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết

Đã gửi 03-07-2019 - 20:09

Bài toán: Tìm x, y nguyên dương sao cho $x^{2} + y^{2} \vdots xy - 1$

Cho mình hỏi luôn là bạn nào có một cách tổng quát nhất về việc tìm số k trong phương pháp này không?

 

(Lưu ý là mình đã đọc trang https://julielltv.wo...uoc-nhay-viete/ rồi nên đừng ai gửi nữa nha)



#171 Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng, Việt Nam
  • Sở thích:làm toán & nghe nhạc của Vũ.

Đã gửi 20-07-2019 - 16:09

 

Bài toán: Tìm x, y nguyên dương sao cho $x^{2} + y^{2} \vdots xy - 1$

Cho mình hỏi luôn là bạn nào có một cách tổng quát nhất về việc tìm số k trong phương pháp này không?

 

(Lưu ý là mình đã đọc trang https://julielltv.wo...uoc-nhay-viete/ rồi nên đừng ai gửi nữa nha)

 

Dễ thấy các cặp $(x;y) = (1;2) (2;1)$ thỏa mãn.

Xét $x,y \geq 2$. Cố định k và xét các cặp $(x;y)$ thỏa mãn

Giả sử $(x_0;y_0)$ là 1 cặp thỏa mãn $x_0^{2} + y_0^{2} \vdots x_0y_0 - 1$  và x_0+y_0 nhỏ nhất, $x_0 \geq y_0$. ($x_0,y_0 \geq 2$)

Đặt ${x^{2} + y^{2}}{xy - 1}=k$ nguyên dương.

Suy ra $x^2-kxy+y^2+k=0$. Do $(x_0;y_0)$ thỏa mãn nên $x_0^2-kx_0y_0+y_0^2+k=0$

Theo định lý Viet:

$\left\{\begin{matrix} x_0+x_1=ky\\ x_0.x_1=k+y^2 \end{matrix}\right.$

Dễ thấy $x_1$ cũng nguyên dương và cặp $(x_1;y_0)$ cũng thỏa mãn. Do tính nhỏ nhất của tổng $x_0+_0$ nên $x_0 \leq x_1$

Suy ra $ky_0=x_0+x_1 \leq 2x_0$ và do đó $\frac{x_0}{y_0} \geq \frac{k}{2}$ 

Từ đó ta suy ra 

$k=\frac{x_0^2+y_0^2+k}{x_0y_0}=\frac{x_0}{y_0}+\frac{y_0}{x_0}+\frac{k}{xy} \geq \frac{k}{2}+1+\frac{k}{4}$

Hay là $k \leq 4$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Arthur Pendragon: 20-07-2019 - 16:10

"WHEN YOU HAVE ELIMINATED THE IMPOSSIBLE, WHATEVER REMAINS, HOWEVER IMPROBABLE, MUST BE THE TRUTH"

-SHERLOCK HOLMES-             


#172 Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng, Việt Nam
  • Sở thích:làm toán & nghe nhạc của Vũ.

Đã gửi 22-07-2019 - 10:54

Bài 63. Cho $n$ là số tự nhiên lẻ sao cho $\frac{n^2-1}{3}$ là tích 2 số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng : $n$ là tổng của 2 số chính phương liên tiếp

Đặt $\frac{n^2-1}{3}=a(a+1)$ với a nguyên dương suy ra $3a^2+3a+1-n^2=0$(1). Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn $a$. Phương trình (1) có nghiệm nguyên thì $\Delta =4n^2-3=k^2$ với $k$ nguyên, tương đương với $(2n-k)(2n+k)=3$, hay $4n=4 \Leftrightarrow n=1=1^2+0^2$ (Q.E.D)


"WHEN YOU HAVE ELIMINATED THE IMPOSSIBLE, WHATEVER REMAINS, HOWEVER IMPROBABLE, MUST BE THE TRUTH"

-SHERLOCK HOLMES-             


#173 Nguyenkhanhviet

Nguyenkhanhviet

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết

Đã gửi 04-01-2020 - 23:44

cho a b nguyên dương thỏa mãn ab(a+b) chia hết cho a^2+ab+b^2 chứng minh rằng |a-b|=căn bậc 3 của ab

#174 tuongtac20

tuongtac20

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết

Đã gửi 05-05-2020 - 20:37

uk.mình làm hơi vội

 từ cm trên ta có y=2 nên pt là x^2+2012=$2^{\sqrt{2^{x}+x^2}+1}$

nên x chẵn nên $2^{x}+x^{2}$ > $x^{2}$ +1

nên x^2 + 2012 > $2^{x+2}$

do x chẵn nên x=2a

nên a^2 + 503 > $2^{2a}$

 nên a<6 thử lại a=3 thoả mãn hay x=6

vậy x=6,y=2

hay



#175 tuongtac20

tuongtac20

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết

Đã gửi 05-05-2020 - 20:41

Bổ đề 1.Nếu d là ước nguyên tố lẻ của $a^{6^{n}}+b^{6^{n}}$ thì $d\equiv 1\left ( mod 2^{n+1} \right )$

Bổ đề 2. Nếu $x\equiv 1\left ( mod c^{k} \right )$ thì$x^{c^{m}}\equiv 1\left ( modc^{m+k} \right )$

 Trở lại bài toán ta có vì p,q là ước nguyên tố lẻ của $a^{6^{n}}+b^{6^{n}}$ nên từ bổ đề 1 suy ra$p^{6^{n}}\equiv q^{6^{n}}\equiv 1\left ( mod 2^{n+1} \right )$                                                                                              .1.

Vì $\left (a,b \right )= 1$ nên$p^{6^{n}}+q^{6^{n}}\equiv 0\left ( mod 3 \right )$.Từ đó $\left (p,3 \right )=\left (q,3 \right )= 1$ vì thế$p^{2^{n}}\equiv q^{2^{n}}\equiv 1\left ( mod 3 \right )$ .theo bổ đề 2 ta có$p^{6^{n}}\equiv q^{6^{n}}\equiv 1\left ( mod 3^{n+1} \right )$       .2.

Từ .1. và .2. và do 2 va 3 nguyên tố cùng nhau nên $p^{6^{n}}\equiv q^{6^{n}}\equiv 1\left ( mod 6.\left ( 12 \right )^{n} \right )$.Do đó

$p^{6^{n}}+ q^{6^{n}}\equiv 2\left ( mod 6.\left ( 12 \right )^{n} \right )$

Vậy phần dư cần tìm là 2

hay







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: topic số học, hay, tuyệt

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh