Bài 38:
Chứng minh rằng tồn tại vô số nguyên dương n thỏa mãn
${{2}^{n}}+1\vdots n$
Bài này y chang bài tập về nhà của mình
Cách 1 : Cực hạn
Gỉa sử tồn tại hữu hạn số nguyên dương $n$ thỏa mãn đề bài, khi đó chọn $k$ là số nguyên dương lớn nhất thỏa đề.
Khi đó $$2^{k}+1\vdots k\Rightarrow 2^{k}+1=kq$$ với $q$ là số tự nhiên lẻ
Do đó $$2^{kq}+1\vdots 2^{k}+1\Rightarrow 2^{kq}+1\vdots kq$$, hiển nhiên $kq > k$, trái với cách chọn $k$
Vậy : Có vô số số nguyên dương $n$ thỏa mãn đề bài
Cách 2 : Quy nạp
Ta sẽ chứng minh bài toán sau : $2^{3^{k}}+1\vdots 3^{k}$
Với $k = 1$ bài toán đúng
Gỉa sử bài toán đúng với $k = n$, ta sẽ chứng minh bài toán cũng đúng với $k = n+1$
Thật vậy,
$$2^{3^{n+1}}+1=\left ( 2^{3^{n}} \right )^{3}+1=(2^{3^{n}}+1)\left ( (2^{3^{n}})^{2}-2^{3^{n}}+1 \right )$$
Theo giả thiết quy nạp :
$$2^{3^{n}}+1\vdots 3^{n}$$
Lại có $$(2^{3^{n}})^{2}-2^{3^{n}}+1\equiv 1-(-1)+1\equiv 0(mod3)\Rightarrow (2^{3^{n}})^{2}-2^{3^{n}}+1\vdots 3$$
Từ hai điều trên suy ra $2^{3^{n+1}}+1\vdots 3^{n+1}$
Theo nguyên lí quy nạp, bài toán được chứng minh
Khi đó ta chọn $n=3^{k}$ thì có vô số số nguyên dương $n$ thỏa đề.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 27-07-2013 - 17:59