Bài 71. Cho 2016a2 + a = 2017b2 + b.CMR a-b là số chính phương với a,b >0, a,b /in N
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-10-2017 - 07:32
Bài 71. Cho 2016a2 + a = 2017b2 + b.CMR a-b là số chính phương với a,b >0, a,b /in N
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-10-2017 - 07:32
Lời giải bài 71. Từ giả thiết ta có $b^2=(a-b)(2016a+2016b+1).$
Gọi $d=gcd(a-b;2016a+2016b+1) \rightarrow \left\{\begin{matrix}d |a-b & & \\ d|2016a+2016b+1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix}d|2016a-2016b & & \\ d|2016a+2016b+1 & & \end{matrix}\right.$
$\rightarrow d|4032b+1$ (1)
Mặt khác $d^2|b^2\rightarrow d|b$ (2)
Từ (1) & (2) có $d|1\rightarrow d=1\rightarrow (a-b;2016a+2016b+1)=1$ mà tích của chúng là một số chính phương nên $a-b$ là một số chính phương (đpcm).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-10-2017 - 07:33
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
Bài 72. Cho $a,b\in Z^{+}$ thỏa $4a^{2}-1\vdots 4ab-1$.Chứng minh rằng $a=b.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-10-2017 - 07:33
$\lim_{x \to \infty } Love =+\infty$
Lời giải bài 72.
$4a^{2}-1\vdots 4ab-1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4a^{2}-1\geq 4ab-1 & \\ a(4ab-1)+a-b\vdots 4ab-1 & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a\geq b & \\ a-b\vdots 4ab-1 & \end{matrix}\right.$
$$\Rightarrow \begin{bmatrix} a-b=0 & \\ a-b\geq 4ab-1(1) & \end{bmatrix}$$
Dễ thấy (1) vô lí.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-10-2017 - 07:34
Bài 73.
1) Cho các số nguyên x;y sao thỏa mãn x^{3}+y^{3}=2016
Chứng minh rằng: (x+y)^{3}+3xy(x+y) chia hết cho 18.
2) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p^{2}+14 là số nguyên tố.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-10-2017 - 07:34
Bài 73.2) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p^{2}+14 là số nguyên tố.
Xét p=3 =>p^{2}+14=23 (thỏa mãn )
Xét p=3k+1=>p^{2}+14=(3k+1)^{2}+14=3(3k^2+2k+5) là hợp số
Xét p=3k+2=>p^{2}+14=(3k+2)^2+14=3(3k^2+4k+6) là hợp số
=> p=3 thỏa mãn đề bài.
Bài 73.
1) Cho các số nguyên x;y sao thỏa mãn x^{3}+y^{3}=2016
Chứng minh rằng: (x+y)^{3}+3xy(x+y) chia hết cho 18.
giải nè :
(x+y)^{3}+3xy(x+y)=x^3+y^3+6xy(x+y)=2016+6xy(x+y) mà3 |xy(x+y)(xét mod3 )kết hợp x^3+y^3=2016 =>dpcm
Cho $3$ số thực $x,\,y,\,z$ với $x+ y+ z= 2$. Chứng minh rằng:
$$\left \lfloor x- \frac{1}{3} \right \rfloor+ \left \lfloor y- \frac{1}{3} \right \rfloor+ \left \lfloor z- \frac{1}{3} \right \rfloor+ 1\geqq 0\tag{HaiDangel}$$
Topic này được lập ra là để chiêu mộ các lời giải độc đáo cho các bài toán số học hay (nhiều cách giải càng hay). Được sự ủng hộ của Juliel, mình quyết định lập ra topic này để trao đổi với các bạn về các vấn đề xung quanh số học, vốn cũng là một đề tài khá nóng hổi trong toán học. Mình sẽ cố gắng đưa ra nhiều bài toán hay và lạ (có thể là sưu tầm từ đâu đó, nếu là của mem trên diễn đàn mình sẽ nhập tên (khuyến khích lời giải sáng tạo, khác so với lời giải đã từng có), cũng có thể là do mình nghĩ ra). Rất mong được các bạn trên diễn đàn ủng hộ.
Sau đây mình xin nói sơ lược về số học: Số học là một bộ môn ra đời sớm hơn hết thảy các bộ môn khác. Các nhà toán học luôn tìm hiểu về quy luật của các con số, từ đó rút ra được các hiện tượng. Không phải bài toán số học nào cũng dễ nhận ra lời giải. Chẳng hạn như các bài toán lớn của Fermat. Theo như tôi bít thì Fermat có rất nhiều công trình vĩ đại trong hầu hết các lĩnh vực của toán học. Tuy nhiên cảm hứng của ông lại chính là lý thuyết số (nhờ cảm hứng từ cuốn "Số học" của Diophante). Ông có rất nhiều công trình vĩ đại trong lý thuyết số. Đặc bịt là bài toán lớn của Fermat ("Định lí cuối cùng của Fermat" của Simon Singh (các bạn nên đọc thử)) mà rất nhiều người bít:
Phương trình $x^{n}+y^{n}=z^{n};n=3,4,5,...$ vốn ko thể có nghiệm nguyên (x; y; z) khác 0.
Bài toán đã thách thức bộ óc nhiều thế hệ các nhà toán học.
Nói nhiu đây thôi. Tóm lại rất mong được trao đổi cũng các bạn. Sau đây là 2 bài đầu tiên:
Bài 1: Tồn tại hay ko số n sao cho số có dạng 2012201220122012...2012 (n số 2012 viết liên tiếp nhau) chia hết cho 2011?
Bài 2: Tìm ba chữ số tận cùng của số $1993^{1994^{1995^{...^{2000}}}}$.
Bài 1: Gọi số có dạng 201220122012...2012 (n số 2012) là F(n)
Theo diriclet trong các số F(1), F(2), F(3)...F(2012) sẽ tồn tại ít nhất 2 số sao cho 2 số có cùng số dư khi chia cho 2011, Ta gọi 2 số đó là F(x), F(y) (x < y)
==> F(y) - F(x) chia hết cho 2011, F(y) - F(x) có dạng 20122012....201200000000 (4*k số 0), gọi số này là A
Lấy A chia cho 10^(4*k) ta được số có dạng 20122012...2012, gọi số này là B
Vì 10^(4*k) luôn không chia hết cho 2011 vậy B chia hết cho 2011, DONE!!
smt
Bài toán: Tìm x, y nguyên dương sao cho $x^{2} + y^{2} \vdots xy - 1$
Cho mình hỏi luôn là bạn nào có một cách tổng quát nhất về việc tìm số k trong phương pháp này không?
(Lưu ý là mình đã đọc trang https://julielltv.wo...uoc-nhay-viete/ rồi nên đừng ai gửi nữa nha)
Bài toán: Tìm x, y nguyên dương sao cho $x^{2} + y^{2} \vdots xy - 1$
Cho mình hỏi luôn là bạn nào có một cách tổng quát nhất về việc tìm số k trong phương pháp này không?
(Lưu ý là mình đã đọc trang https://julielltv.wo...uoc-nhay-viete/ rồi nên đừng ai gửi nữa nha)
Dễ thấy các cặp $(x;y) = (1;2) (2;1)$ thỏa mãn.
Xét $x,y \geq 2$. Cố định k và xét các cặp $(x;y)$ thỏa mãn
Giả sử $(x_0;y_0)$ là 1 cặp thỏa mãn $x_0^{2} + y_0^{2} \vdots x_0y_0 - 1$ và x_0+y_0 nhỏ nhất, $x_0 \geq y_0$. ($x_0,y_0 \geq 2$)
Đặt ${x^{2} + y^{2}}{xy - 1}=k$ nguyên dương.
Suy ra $x^2-kxy+y^2+k=0$. Do $(x_0;y_0)$ thỏa mãn nên $x_0^2-kx_0y_0+y_0^2+k=0$
Theo định lý Viet:
$\left\{\begin{matrix} x_0+x_1=ky\\ x_0.x_1=k+y^2 \end{matrix}\right.$
Dễ thấy $x_1$ cũng nguyên dương và cặp $(x_1;y_0)$ cũng thỏa mãn. Do tính nhỏ nhất của tổng $x_0+_0$ nên $x_0 \leq x_1$
Suy ra $ky_0=x_0+x_1 \leq 2x_0$ và do đó $\frac{x_0}{y_0} \geq \frac{k}{2}$
Từ đó ta suy ra
$k=\frac{x_0^2+y_0^2+k}{x_0y_0}=\frac{x_0}{y_0}+\frac{y_0}{x_0}+\frac{k}{xy} \geq \frac{k}{2}+1+\frac{k}{4}$
Hay là $k \leq 4$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Arthur Pendragon: 20-07-2019 - 16:10
"WHEN YOU HAVE ELIMINATED THE IMPOSSIBLE, WHATEVER REMAINS, HOWEVER IMPROBABLE, MUST BE THE TRUTH"
-SHERLOCK HOLMES-
Bài 63. Cho $n$ là số tự nhiên lẻ sao cho $\frac{n^2-1}{3}$ là tích 2 số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng : $n$ là tổng của 2 số chính phương liên tiếp
Đặt $\frac{n^2-1}{3}=a(a+1)$ với a nguyên dương suy ra $3a^2+3a+1-n^2=0$(1). Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn $a$. Phương trình (1) có nghiệm nguyên thì $\Delta =4n^2-3=k^2$ với $k$ nguyên, tương đương với $(2n-k)(2n+k)=3$, hay $4n=4 \Leftrightarrow n=1=1^2+0^2$ (Q.E.D)
"WHEN YOU HAVE ELIMINATED THE IMPOSSIBLE, WHATEVER REMAINS, HOWEVER IMPROBABLE, MUST BE THE TRUTH"
-SHERLOCK HOLMES-
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
vmo vĩnh phúc 2022Bắt đầu bởi nhatvinh2018, 27-12-2021 hay |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
vmo ninh thuận 2022Bắt đầu bởi nhatvinh2018, 10-12-2021 hay |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Lượng giác →
Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác →
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CỰC HAY VÀ KHÓBắt đầu bởi baonghi, 18-07-2019 ptlg, hay, khó, lượng giác và . |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Giúp BĐT nhéBắt đầu bởi VuTroc, 28-05-2018 bđt hay, hay, bđt |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
$A=x^2y^3+y^2z^3+z^2x^3+(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2$Bắt đầu bởi meoluoi123, 13-10-2017 cực trị, bất đẳng thức và . |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh