Bài 29
Cho $p_{n}$ là số nguyên tố thứ $n$. Chứng minh rằng:
a.$p_{n}>2n$ với mọi $n>4$
b.$p_{n}>3n$ với mọi $n>11$
a) Ta có $p_{5}=11>2.5$
Giả sử bất đẳng thức đúng với $n=k\geq 5$
Khi $n=k+1$
2 số nguyên tố liên tiếp kể từ số 3 trở đi đều cách nhau ít nhất là 2 vì mọi số nguyên tố khác 2 đều là số lẻ
Suy ra $p_{k+1}-p_{k}\geq 2 \Rightarrow p_{k+1}\geq p_{k}+2> 2k+2=2(k+1)$
=> dpcm
b) ta có$p_{12}=37> 3.12$
Chia tập hợp các số nguyên dương thành các nhóm 3 số:
$A_{1}={1,2,3}$
$A_{2}={4,5,6}$
....
$A_{k}={3k-2,3k-1,3k}$
Trong 12 tập đầu tiên có 11 số nguyên tố, kể từ tập 13 trở đi, trong mỗi tập $A_{k} , k\geq 13$ có 1số 3k chia hết cho 3 và lớn hơn 3, trong 2 số 3k-1, 3k-2 có 1 số chẵn và lớn hơn 2 => Trong mỗi tập có nhiều nhất là 1 số nguyên tố. Do vậy số nguyên tố thứ n $p_{n}$ sẽ thuộc tập $A_{k+1}$ hoac các tập sau nữa.
Từ đó suy ra dpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi linhlun97: 22-09-2013 - 20:37