Đến nội dung

Hình ảnh

Topic về số học, các bài toán về số học.

- - - - - topic số học hay tuyệt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 171 trả lời

#161
hungnguyenhsgs2109

hungnguyenhsgs2109

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

Bài 71. Cho 2016a2 + a = 2017b+ b.CMR a-b là số chính phương với a,b >0, a,b /in N


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-10-2017 - 07:32


#162
the man

the man

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 589 Bài viết

Lời giải bài 71. Từ giả thiết ta có $b^2=(a-b)(2016a+2016b+1).$

 

Gọi $d=gcd(a-b;2016a+2016b+1) \rightarrow \left\{\begin{matrix}d |a-b & & \\ d|2016a+2016b+1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix}d|2016a-2016b & & \\ d|2016a+2016b+1 & & \end{matrix}\right.$

              $\rightarrow d|4032b+1$ (1)

Mặt khác $d^2|b^2\rightarrow d|b$ (2)

Từ (1) & (2) có $d|1\rightarrow d=1\rightarrow (a-b;2016a+2016b+1)=1$ mà tích của chúng là một số chính phương nên $a-b$ là một số chính phương (đpcm).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-10-2017 - 07:33

"God made the integers, all else is the work of man."

                                                Leopold Kronecker


#163
minhrongcon2000

minhrongcon2000

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết

Bài 72. Cho $a,b\in Z^{+}$ thỏa $4a^{2}-1\vdots 4ab-1$.Chứng minh rằng $a=b.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-10-2017 - 07:33

$\lim_{x \to \infty } Love =+\infty$


#164
congdan9aqxk

congdan9aqxk

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 215 Bài viết

Lời giải bài 72.

$4a^{2}-1\vdots 4ab-1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4a^{2}-1\geq 4ab-1 & \\ a(4ab-1)+a-b\vdots 4ab-1 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a\geq b & \\ a-b\vdots 4ab-1 & \end{matrix}\right.$

$$\Rightarrow \begin{bmatrix} a-b=0 & \\ a-b\geq 4ab-1(1) & \end{bmatrix}$$

Dễ thấy (1) vô lí.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-10-2017 - 07:34


#165
nhuleynguyen

nhuleynguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết

Bài 73.

1) Cho các số nguyên x;y sao thỏa mãn x^{3}+y^{3}=2016

Chứng minh rằng: (x+y)^{3}+3xy(x+y) chia hết cho 18.

2) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p^{2}+14 là số nguyên tố.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-10-2017 - 07:34

“Life isn't about waiting for the storm to pass...It's about learning to dance in the rain.”

#166
doctorwhoez

doctorwhoez

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Bài 73.2) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p^{2}+14 là số nguyên tố.

Xét p=3 =>p^{2}+14=23 (thỏa mãn )

Xét p=3k+1=>p^{2}+14=(3k+1)^{2}+14=3(3k^2+2k+5) là hợp số 

Xét p=3k+2=>p^{2}+14=(3k+2)^2+14=3(3k^2+4k+6) là hợp số 

=> p=3 thỏa mãn đề bài.:))



#167
doctorwhoez

doctorwhoez

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Bài 73.

1) Cho các số nguyên x;y sao thỏa mãn x^{3}+y^{3}=2016

Chứng minh rằng: (x+y)^{3}+3xy(x+y) chia hết cho 18.

giải nè :

(x+y)^{3}+3xy(x+y)=x^3+y^3+6xy(x+y)=2016+6xy(x+y) mà3 |xy(x+y)(xét mod3 )kết hợp x^3+y^3=2016 =>dpcm



#168
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Cho $3$ số thực $x,\,y,\,z$ với $x+ y+ z= 2$. Chứng minh rằng:

$$\left \lfloor x- \frac{1}{3} \right \rfloor+ \left \lfloor y- \frac{1}{3} \right \rfloor+ \left \lfloor z- \frac{1}{3} \right \rfloor+ 1\geqq 0\tag{HaiDangel}$$



#169
lamgiaovien2

lamgiaovien2

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 67 Bài viết

Topic này được lập ra là để chiêu mộ các lời giải độc đáo cho các bài toán số học hay (nhiều cách giải càng hay). Được sự ủng hộ của Juliel, mình quyết định lập ra topic này để trao đổi với các bạn về các vấn đề xung quanh số học, vốn cũng là một đề tài khá nóng hổi trong toán học. Mình sẽ cố gắng đưa ra nhiều bài toán hay và lạ (có thể là sưu tầm từ đâu đó, nếu là của mem trên diễn đàn mình sẽ nhập tên (khuyến khích lời giải sáng tạo, khác so với lời giải đã từng có), cũng có thể là do mình nghĩ ra). Rất mong được các bạn trên diễn đàn ủng hộ.

Sau đây mình xin nói sơ lược về số học: Số học là một bộ môn ra đời sớm hơn hết thảy các bộ môn khác. Các nhà toán học luôn tìm hiểu về quy luật của các con số, từ đó rút ra được các hiện tượng. Không phải bài toán số học nào cũng dễ nhận ra lời giải. Chẳng hạn như các bài toán lớn của Fermat. Theo như tôi bít thì Fermat có rất nhiều công trình vĩ đại trong hầu hết các lĩnh vực của toán học. Tuy nhiên cảm hứng của ông lại chính là lý thuyết số (nhờ cảm hứng từ cuốn "Số học" của Diophante). Ông có rất nhiều công trình vĩ đại trong lý thuyết số. Đặc bịt là bài toán lớn của Fermat ("Định lí cuối cùng của Fermat" của Simon Singh (các bạn nên đọc thử)) mà rất nhiều người bít:

Phương trình $x^{n}+y^{n}=z^{n};n=3,4,5,...$ vốn ko thể có nghiệm nguyên (x; y; z) khác 0.

Bài toán đã thách thức bộ óc nhiều thế hệ các nhà toán học.

Nói nhiu đây thôi. Tóm lại rất mong được trao đổi cũng các bạn. Sau đây là 2 bài đầu tiên:

Bài 1: Tồn tại hay ko số n sao cho số có dạng 2012201220122012...2012 (n số 2012 viết liên tiếp nhau) chia hết cho 2011?

Bài 2: Tìm ba chữ số tận cùng của số $1993^{1994^{1995^{...^{2000}}}}$.

Bài 1: Gọi số có dạng 201220122012...2012 (n số 2012) là F(n)

Theo diriclet trong các số F(1), F(2), F(3)...F(2012) sẽ tồn tại ít nhất 2 số sao cho 2 số có cùng số dư khi chia cho 2011, Ta gọi 2 số đó là F(x), F(y) (x < y)

==> F(y) - F(x) chia hết cho 2011, F(y) - F(x) có dạng 20122012....201200000000 (4*k số 0), gọi số này là A

Lấy A chia cho 10^(4*k) ta được số có dạng 20122012...2012, gọi số này là B

Vì 10^(4*k) luôn không chia hết cho 2011 vậy B chia hết cho 2011, DONE!!


smt


#170
HienYo

HienYo

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết

Bài toán: Tìm x, y nguyên dương sao cho $x^{2} + y^{2} \vdots xy - 1$

Cho mình hỏi luôn là bạn nào có một cách tổng quát nhất về việc tìm số k trong phương pháp này không?

 

(Lưu ý là mình đã đọc trang https://julielltv.wo...uoc-nhay-viete/ rồi nên đừng ai gửi nữa nha)



#171
Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

 

Bài toán: Tìm x, y nguyên dương sao cho $x^{2} + y^{2} \vdots xy - 1$

Cho mình hỏi luôn là bạn nào có một cách tổng quát nhất về việc tìm số k trong phương pháp này không?

 

(Lưu ý là mình đã đọc trang https://julielltv.wo...uoc-nhay-viete/ rồi nên đừng ai gửi nữa nha)

 

Dễ thấy các cặp $(x;y) = (1;2) (2;1)$ thỏa mãn.

Xét $x,y \geq 2$. Cố định k và xét các cặp $(x;y)$ thỏa mãn

Giả sử $(x_0;y_0)$ là 1 cặp thỏa mãn $x_0^{2} + y_0^{2} \vdots x_0y_0 - 1$  và x_0+y_0 nhỏ nhất, $x_0 \geq y_0$. ($x_0,y_0 \geq 2$)

Đặt ${x^{2} + y^{2}}{xy - 1}=k$ nguyên dương.

Suy ra $x^2-kxy+y^2+k=0$. Do $(x_0;y_0)$ thỏa mãn nên $x_0^2-kx_0y_0+y_0^2+k=0$

Theo định lý Viet:

$\left\{\begin{matrix} x_0+x_1=ky\\ x_0.x_1=k+y^2 \end{matrix}\right.$

Dễ thấy $x_1$ cũng nguyên dương và cặp $(x_1;y_0)$ cũng thỏa mãn. Do tính nhỏ nhất của tổng $x_0+_0$ nên $x_0 \leq x_1$

Suy ra $ky_0=x_0+x_1 \leq 2x_0$ và do đó $\frac{x_0}{y_0} \geq \frac{k}{2}$ 

Từ đó ta suy ra 

$k=\frac{x_0^2+y_0^2+k}{x_0y_0}=\frac{x_0}{y_0}+\frac{y_0}{x_0}+\frac{k}{xy} \geq \frac{k}{2}+1+\frac{k}{4}$

Hay là $k \leq 4$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Arthur Pendragon: 20-07-2019 - 16:10

"WHEN YOU HAVE ELIMINATED THE IMPOSSIBLE, WHATEVER REMAINS, HOWEVER IMPROBABLE, MUST BE THE TRUTH"

-SHERLOCK HOLMES-             


#172
Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

Bài 63. Cho $n$ là số tự nhiên lẻ sao cho $\frac{n^2-1}{3}$ là tích 2 số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng : $n$ là tổng của 2 số chính phương liên tiếp

Đặt $\frac{n^2-1}{3}=a(a+1)$ với a nguyên dương suy ra $3a^2+3a+1-n^2=0$(1). Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn $a$. Phương trình (1) có nghiệm nguyên thì $\Delta =4n^2-3=k^2$ với $k$ nguyên, tương đương với $(2n-k)(2n+k)=3$, hay $4n=4 \Leftrightarrow n=1=1^2+0^2$ (Q.E.D)


"WHEN YOU HAVE ELIMINATED THE IMPOSSIBLE, WHATEVER REMAINS, HOWEVER IMPROBABLE, MUST BE THE TRUTH"

-SHERLOCK HOLMES-             






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: topic số học, hay, tuyệt

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh