Chủ đề này có 17 trả lời

[Anonymous666]

Bài 1   :  (2 điểm)

1/ Chứng minh $\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{x^{2}}} = 1 + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$ với x > 1

2/ Tính giá trị M = $\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2012^{2}}+\frac{1}{2013^{2}}}$

 Bài 2 : (2 điểm)

Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

1/ Chứng minh $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+x+y=18\\ x(x+1).y(y+1)=72 \end{matrix}\right.$

2/ $\sqrt{x^{2}-16}=3\sqrt{x-4}$

Bài 3: (2 điểm)

1/ Chứng minh $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}\geq \frac{(a+b)^{2}}{x+y}$  (a,b $\epsilon R$ và x,y > 0)

2/ Cho các số x,y,z >0: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$

Chứng minh: $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

Bài 4: (3 điểm)

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Qua điểm I cố định thuộc bán kính OA vẽ dây cung CD $\perp$ AB. Trên CD lấy K tuỳ ý. AK cắt (O) tại M.

1/ Chứng minh

   a/ Tứ giác IKMB nội tiếp.

   b/ AC là tiếp tuyến của đường tròn (J) ngoại tiếp $\bigtriangleup$ MKC

   c/ Tâm J của đường tròn ngoại tiếp $\bigtriangleup$ MKC thuộc một đường cố định.

2/ Khi OA = 3IO. Tính theo R khoảng cách nhỏ nhất của đoạn DJ.

Bài 5: (1 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Gọi J,K lần lượt là trung điểm của BC và AH. Các phân giác của \widehat{ABH},\widehat{ACH} cắt nhau tại I. Chứng minh 3 điểm I,J,K thẳng hàng

__________HẾT_________

Mình không chuyên toán. Đề này của bạn mình nó vừa mới thi xong nên mình reg 1 nick trên 4rum nhờ mấy bạn giúp đỡ. Mình cũng tò mò về lời giải của đề này lắm. Mà mấy bạn giải chi tiết nha chứ mình thì mình cũng thường môn Toán thôi, chủ yếu là giúp nó mất công khi đưa đáp án cho nó mình lại ngu ngơ thì khổ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[hoctrocuanewton]

câu 3a cậu dùng xvác nhé . câu b thì lúc nãy tớ làm sai xin lỗi nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 28-06-2013 - 21:40

[badboykmhd123456]

Bài 1   :  (2 điểm)

1/ Chứng minh $\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{x^{2}}} = 1 + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$ với x > 1

2/ Tính giá trị M = $\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2012^{2}}+\frac{1}{2013^{2}}}$

 Bài 2 : (2 điểm)

Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

1/ Chứng minh $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+x+y=18\\ x(x+1).y(y+1)=72 \end{matrix}\right.$

2/ $\sqrt{x^{2}-16}=3\sqrt{x-4}$

Bài 3: (2 điểm)

1/ Chứng minh $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}\geq \frac{(a+b)^{2}}{x+y}$  (a,b $\epsilon R$ và x,y > 0)

2/ Cho các số x,y,z >0: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$

Chứng minh: $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

Bài 4: (3 điểm)

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Qua điểm I cố định thuộc bán kính OA vẽ dây cung CD $\perp$ AB. Trên CD lấy K tuỳ ý. AK cắt (O) tại M.

1/ Chứng minh

   a/ Tứ giác IKMB nội tiếp.

   b/ AC là tiếp tuyến của đường tròn (J) ngoại tiếp $\bigtriangleup$ MKC

   c/ Tâm J của đường tròn ngoại tiếp $\bigtriangleup$ MKC thuộc một đường cố định.

2/ Khi OA = 3IO. Tính theo R khoảng cách nhỏ nhất của đoạn DJ.

Bài 5: (1 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Gọi J,K lần lượt là trung điểm của BC và AH. Các phân giác của \widehat{ABH},\widehat{ACH} cắt nhau tại I. Chứng minh 3 điểm I,J,K thẳng hàng

__________HẾT_________

Mình không chuyên toán. Đề này của bạn mình nó vừa mới thi xong nên mình reg 1 nick trên 4rum nhờ mấy bạn giúp đỡ. Mình cũng tò mò về lời giải của đề này lắm. Mà mấy bạn giải chi tiết nha chứ mình thì mình cũng thường môn Toán thôi, chủ yếu là giúp nó mất công khi đưa đáp án cho nó mình lại ngu ngơ thì khổ.

đề này số cũng dễ còn hình ngại k làm   đag vội post hướng làm thôi nếu k hiểu pm mk

Câu 1 

a) Bình phương 2 vế là ra

b) Áp dụng câu a

Câu 2 a)Đặt $x+y=a;xy=b $ rồi giải

b) Chuyển vế đặt nhân tử chung hoặc bình phương 2 vế

Câu 3

a) Biến đổi tương đương

b) Áp dụng 2 lần bất đẳng thức ở câu a 

[Simpson Joe Donald]

Bài 1   :  (2 điểm)

1/ Chứng minh $\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{x^{2}}} = 1 + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$ với x > 1

2/ Tính giá trị M = $\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2012^{2}}+\frac{1}{2013^{2}}}$

 

Đặt $A=\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{x^2}}$

Ta có:$A^2=1+\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{x^2}=\frac{x^2(x-1)^2+x^2+(x-1)^2}{x^2(x-1)^2} \\ \ \ A^2=\frac{x^2(x^2-2x+1+1)+(x-1)^2}{x^2(x-1)^2} \\ A^2=\frac{x^4-2x(x-1)+(x-1)^2}{x^2(x-1)^2} \\ A^2=\left ( \frac{x^2-x+1}{x(x-1)} \right )^2$

Do $x>0 \Rightarrow A>0 \Rightarrow A=\frac{x^2-x+1}{x(x-1)}=1+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Simpson Joe Donald: 28-06-2013 - 20:36

[badboykmhd123456]

Đặt $A=\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{x^2}}$

Ta có:$A^2=1+\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{x^2}=\frac{x^2(x-1)^2+x^2+(x-1)^2}{x^2(x-1)^2} \\ \ \ A^2=\frac{x^2(x^2-2x+1+1)+(x-1)^2}{x^2(x-1)^2} \\ A^2=\frac{x^4-2x(x-1)+(x-1)^2}{x^2(x-1)^2} \\ A^2=\left ( \frac{x^2-x+1}{x(x-1)} \right )^2$

Do $x>0 \Rightarrow A>0 \Rightarrow A=\frac{x^2-x+1}{x(x-1)}=1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}$

làm thế này dài bình phương cái vế phải ngắn gọn hơn

[Simpson Joe Donald]

 

 Bài 2 : (2 điểm)

Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

1/ Chứng minh $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+x+y=18\\ x(x+1).y(y+1)=72 \end{matrix}\right.$

2/ $\sqrt{x^{2}-16}=3\sqrt{x-4}$

1, $hpt\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x(x+1)+y(y+1)=18 & \\ x(x+1).y(y+1)=72 & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}x(x+1)=a & \\ y(y+1)=b & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a+b=18 & \\ ab=72 & \end{matrix}\right.$

Tìm a,b rồi thay vào tìm x,y

2, $\left\{\begin{matrix}x-4\geq 0 & \\ x^2-16=3(x-4) & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\geq 4 & \\ x^2-3x-4=0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\ge 4 & \\ \begin{bmatrix}x=-1 & \\ x=4 & \end{bmatrix} & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=4$

[bossulan239]

T

 

 

 

2/ Cho các số x,y,z >0: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$

Chứng minh: $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

 

Ta có

$\frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{4}.(\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z})\leq \frac{1}{4}.(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z})$

 

Tương tự cho các số còn lại ta có

Ta có

$\frac{1}{2y+x+z}\leq \frac{1}{4}.(\frac{1}{2y}+\frac{1}{z+x})\leq \frac{1}{4}.(\frac{1}{2y}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4z})$

$\frac{1}{2z+x+y}\leq \frac{1}{4}.(\frac{1}{2z}+\frac{1}{y+x})\leq \frac{1}{4}.(\frac{1}{2z}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y})$

Cộng các bất đẳng thức trên ta có

VP$\leq \frac{1}{4}.(\sum \frac{1}{x})= 1$ (đpcm)

[nhox sock tn]

Bài 1   :  (2 điểm)

1/ Chứng minh $\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{x^{2}}} = 1 + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$ với x > 1

2/ Tính giá trị M = $\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2012^{2}}+\frac{1}{2013^{2}}}$

1/ Với x>1, ta có:

 

$VT=1+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}$

 

$VT^{2}=\left ( 1+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x} \right )^{2}$

 

          $=1+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x-1}-\frac{2}{x}-\frac{2}{x(x-1)}$

 

          $=1+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{x^{2}}+\underbrace{\frac{2x-2(x-1)-2}{x(x-1)}}$

                                                                         $0$

 

$\Rightarrow VT^{2}=1+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{x^{2}}$

 

$\Rightarrow VT=VP=\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{x^{2}}}$   (đpcm)

 

2/ Áp dụng câu 1, ta có:

 

$\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{x^{2}}}=1+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}$

 

$\Rightarrow M=\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}$$+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}$$+...+\sqrt{1+\frac{1}{2012^{2}}+\frac{1}{2013^{2}}}$

 

                      $=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+1+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2013}$

 

                      $=\underbrace{1+1+...+1}+1-\frac{1}{2013}$

                               $2012  số 1$

 

                      $=2013-\frac{1}{2013}$

 

                      $=\frac{2013^{2}-1}{2013}$

 

$\Rightarrow M=\frac{4052168}{2013}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhox sock tn: 28-06-2013 - 22:22

[Anonymous666]

Câu 3

a) Biến đổi tương đương

b) Áp dụng 2 lần bất đẳng thức ở câu a 

Câu b áp dụng như thế nào bạn? Mấy câu trước mình còn biết chứ câu này mình không thể suy nghĩ ra hướng giải chút nào cả.

Còn câu 2/b theo mình nghĩ thì phải có điều kiện để biếu thức dưới dấu căn ở 2 vế không âm chứ nhỉ?

[badboykmhd123456]

Câu b áp dụng như thế nào bạn? Mấy câu trước mình còn biết chứ câu này mình không thể suy nghĩ ra hướng giải chút nào cả.

Còn câu 2/b theo mình nghĩ thì phải có điều kiện để biếu thức dưới dấu căn ở 2 vế không âm chứ nhỉ?

Câu b áp dụng theo nhiều cách 1 cách như bạn bossulan239 còn 1 cách nữa thế này

$\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+y+x+z} \leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}) \leq \frac{1}{16}(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Thiết lập các bdt tương tự rồi cộng theo vế là đk

Câu 2b tất nhiên phải có DKXD r bài pt vô tỉ nào chả thế

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi badboykmhd123456: 29-06-2013 - 09:50

[Anonymous666]

Cảm ơn trước nha. Nhưng 2 bài hình không có bạn nào chịu khó giúp mình à!

[bossulan239]

Cảm ơn trước nha. Nhưng 2 bài hình không có bạn nào chịu khó giúp mình à!

 

Bài 5 hình (Các bạn tự vẽ hình nha)

Vẽ các đường cao BE,CF,AD

Ta có J là tâm đường tròn ngoại tứ giác BCEF

           K là tâm đường tròn ngoại tứ giác AEHF

Vẽ (J) ; KJ $\cup$ (J) $\equiv$ I 

Ta dễ dàng chứng minh rằng KF,KE là tiếp tuyến tại F,E của (J) ( Đây là 1 bổ đề quen thuộc)

$\Rightarrow$ JK là tia phân giác của$\angle FJE$

$\Rightarrow $ I là điểm chính giữa cung EF

$\Rightarrow$ BI, CI là tia phân giác $\angle ABH,\angle ACH$

$\Rightarrow$ đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bossulan239: 29-06-2013 - 17:02

[phatthemkem]

Bài 4: (3 điểm)

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Qua điểm I cố định thuộc bán kính OA vẽ dây cung CD $\perp$ AB. Trên CD lấy K tuỳ ý. AK cắt (O) tại M.

1/ Chứng minh

   a/ Tứ giác IKMB nội tiếp.

   b/ AC là tiếp tuyến của đường tròn (J) ngoại tiếp $\bigtriangleup$ MKC

   c/ Tâm J của đường tròn ngoại tiếp $\bigtriangleup$ MKC thuộc một đường cố định.

2/ Khi OA = 3IO. Tính theo R khoảng cách nhỏ nhất của đoạn DJ.

 

$1/$ $a/$ Tứ giác $IKMB$ có $\widehat{KIB}=\widehat{KMB}=90^0$ suy ra $dpcm$

$b/$ Vì tứ giác $IKMB$ nội tiếp nên $AK.AM=AI.AB=AC^2$

$\Rightarrow \Delta AKC\sim \Delta ACM\Rightarrow \widehat{CMK}=\widehat{KCA}\Rightarrow dpcm$

$c/$ Khi $K$ chuyển động thì $AC$ luôn vuông góc với $CJ$ hay $J$ luôn chuyển động trên đoạn $BC$

$2/$ Độ dài $DJ$ ngắn nhất khi ba điểm $K,D,M$ trùng nhau và điểm $I$ trùng với $B$ hay $DJ=DB$

Tới đây dễ tính rồi nhá.

[Katyusha]

 

Câu 4.2. Do $D$ và $BC$ cố định nên $DJ$ ngắn nhất khi $J$ là hình chiếu của $D$ lên $BC$.

 

Ta có $CI^2=IA.IB=\dfrac{2R}{3}.\dfrac{4R}{3}=\dfrac{8R^2}{9}\Rightarrow CI=\dfrac{R.2\sqrt{2}}{3}\Rightarrow CD=\dfrac{R.4\sqrt{2}}{3}$. Và $CB^2=AB.BI=2R.\dfrac{4R}{3}=\dfrac{8R}{3}\Rightarrow CB=\dfrac{R.2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

 

Khi đó $\sin \angle ICB=\dfrac{IB}{CB}=\dfrac{4R}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{R.2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$. Vậy $DI=CD.\sin \angle ICD=\dfrac{R.4\sqrt{2}}{3}.\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{8R}{3\sqrt{3}}$.

 

[Tran Phan Kali]

câu 3a cậu dùng xvác nhé . câu b thì lúc nãy tớ làm sai xin lỗi nhé

cậu xài cauchy cho dễ hiểu hơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Phan Kali: 07-07-2013 - 12:23

[laiducthang98]

Câu hệ ngon                    

Hệ đã cho viết thành $\left\{\begin{matrix} x(x+1)+y(y+1)=18 & \\ x(x+1).y(y+1)=72& \end{matrix}\right.$

Đặt u=x(x+1), v=y(y+1) có hệ $\left\{\begin{matrix} u+v=18 & \\ u.v=72 & \end{matrix}\right.$ 

=>........

[phamphucat]

làm thế này dài bình phương cái vế phải ngắn gọn hơn

 

 

làm thế này dài bình phương cái vế phải ngắn gọn hơn

Có cách nào vừa tự nhiên và hay như cách này không:

Đặt $A=1+\frac{1}{\left ( x-1 \right )^2}+\frac{1}{x^2}$$=1+\frac{2}{x-1}+\frac{1}{\left ( x-1 \right )^2}-\frac{2}{x-1}+\frac{1}{x^2}$$=\left ( 1+\frac{1}{x-1} \right )^2-2\left ( 1+\frac{1}{x-1} \right )\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} =\left ( 1+\frac{1}{x-1} -\frac{1}{x}\right )^2$

[Tienanh tx]

Bài 1   :  (2 điểm)

1/ Chứng minh $\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{x^{2}}} = 1 + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$ với x > 1

 

Cách khác cho câu $1a$

 

$\oplus$ Ta có: $\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{x^{2}}} = \sqrt {1 + \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}}  = \sqrt {\left( {1 + \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{2}{{x - 1}} - \frac{2}{x} - \frac{2}{{x(x - 1)}}} \right) + \frac{2}{x} + \frac{2}{{x(x - 1)}} - \frac{2}{{x - 1}}}  = \sqrt {{{\left( {1 + \frac{1}{{(x - 1)}} - \frac{1}{x}} \right)}^2} + \frac{2}{x} + \frac{2}{{x(x - 1)}} - \frac{2}{{x - 1}}}$

Mà $\dfrac{2}{x} + \dfrac{2}{x(x-1)}  + \dfrac{2}{x-1} = 0$

$\Longrightarrow$ $\sqrt {1 + \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}}  = \sqrt {{{\left( {1 + \frac{1}{{(x - 1)}} - \frac{1}{x}} \right)}^2}}  = 1 + \frac{1}{{(x - 1)}} - \frac{1}{x}$