Đến nội dung

Hình ảnh

$(1+\cos \frac{A}{2})(1+\cos \frac{B}{2})(1+\cos \frac{C}{2})>4$

lg bdt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết

cho $A,B,C$ là $3$ góc của $1$ tam giác, CMR:

$(1+\cos \frac{A}{2})(1+\cos \frac{B}{2})(1+\cos \frac{C}{2})>4$



#2
barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết

Nhận thấy rằng $(1-\cos \frac{A}{2})(1-\cos \frac{B}{2})> 0$

Biến đổi hệ thức đã cho ta có

Đặt $P=(1+\cos \frac{A}{2})(1+\cos \frac{B}{2})(1+\cos \frac{C}{2})= [(1-\cos \frac{A}{2})(1-\cos \frac{B}{2})+2(\cos \frac{A}{2}+\cos \frac{B}{2})](1+\cos \frac{C}{2})$

$\Rightarrow P> 2(\cos \frac{A}{2}+\cos \frac{B}{2})(1+\cos \frac{C}{2})$

Lại có $\cos \frac{A}{2}+\cos \frac{B}{2}+\cos \frac{C}{2}\geq \cos ^2\frac{A}{2}+\cos ^2\frac{B}{2}+\cos ^2\frac{C}{2}=\frac{3}{2}+\frac{1+4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}{2}> 2$

$\Rightarrow P> 2(2-\cos \frac{C}{2})(1+\cos \frac{C}{2})=2(2+\cos \frac{C}{2}-\cos ^2\frac{C}{2})> 4$

QED.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi barcavodich: 29-06-2013 - 17:38

[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: lg, bdt

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh