cho $A,B,C$ là $3$ góc của $1$ tam giác, CMR:
$(1+\cos \frac{A}{2})(1+\cos \frac{B}{2})(1+\cos \frac{C}{2})>4$
cho $A,B,C$ là $3$ góc của $1$ tam giác, CMR:
$(1+\cos \frac{A}{2})(1+\cos \frac{B}{2})(1+\cos \frac{C}{2})>4$
Nhận thấy rằng $(1-\cos \frac{A}{2})(1-\cos \frac{B}{2})> 0$
Biến đổi hệ thức đã cho ta có
Đặt $P=(1+\cos \frac{A}{2})(1+\cos \frac{B}{2})(1+\cos \frac{C}{2})= [(1-\cos \frac{A}{2})(1-\cos \frac{B}{2})+2(\cos \frac{A}{2}+\cos \frac{B}{2})](1+\cos \frac{C}{2})$
$\Rightarrow P> 2(\cos \frac{A}{2}+\cos \frac{B}{2})(1+\cos \frac{C}{2})$
Lại có $\cos \frac{A}{2}+\cos \frac{B}{2}+\cos \frac{C}{2}\geq \cos ^2\frac{A}{2}+\cos ^2\frac{B}{2}+\cos ^2\frac{C}{2}=\frac{3}{2}+\frac{1+4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}{2}> 2$
$\Rightarrow P> 2(2-\cos \frac{C}{2})(1+\cos \frac{C}{2})=2(2+\cos \frac{C}{2}-\cos ^2\frac{C}{2})> 4$
QED.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi barcavodich: 29-06-2013 - 17:38
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$Cho a,b,c\geq 0 \sum a\doteq 1 \sum \sqrt{\frac{a}{2a^{2}+bc}}\geq 2$Bắt đầu bởi TARGET, 07-03-2022 bdt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sqrt{\frac{4x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\frac{4x^2+2xy+y^2}{3}}\geq 2x+y$Bắt đầu bởi lmtrtan123334, 18-10-2021 bdt |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của $P=8(a^2+b^2)-2a-2b$ biết $2a\sin^2 x+b(\sin x-\cos x)^2=0$ luôn có nghiệmBắt đầu bởi hieulu, 02-09-2021 toán 12, bdt, khó |
|
|||
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Bất đẳng thứcBắt đầu bởi yungazier, 12-08-2021 batdangthuc, bdt |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
CMR $ 3\sum \frac{b}{a+b+1} \geq \sum \frac{4-a}{a+2} $Bắt đầu bởi Sin99, 24-07-2019 bdt |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh