Chủ đề này có 2 trả lời

[sieu dao chich]

Cho $a,b,c\geq1$.Chứng minh bất đẳng thức sau

$$a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)+2(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2})\geq9$$

 

 

[vutuanhien]

Cho $a,b,c\geq1$.Chứng minh bất đẳng thức sau

$$a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)+2(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2})\geq9$$

Do $a,b,c\geq 1$ nên áp dụng BĐT $\frac{1}{1+t^2}+\frac{1}{1+p^2}\geq \frac{2}{1+tp}$ (với $tp\geq 1$), ta có

$2(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2})\geq 2\sum \frac{1}{1+ab}\geq \frac{18}{3+ab+bc+ca}\geq \frac{18}{2(ab+bc+ca)}=\frac{9}{ab+bc+ca}$

(vì $ab+bc+ca\geq 3$)

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $\sum a(b+c)+\frac{9}{ab+bc+ca}=(ab+bc+ca)+(ab+bc+ca)+\frac{9}{ab+bc+ca}\geq 3\sqrt[3]{9(ab+bc+ca)}\geq 3\sqrt[3]{9.3}=9$

(đpcm)

[holmes2013]

Cho $a,b,c\geq1$.Chứng minh bất đẳng thức sau

$$a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)+2(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2})\geq9$$

Áp dụng AM-GM ta có:  $1-\frac{1}{1+a^{2}}= \frac{a^{2}}{1+a^{2}}\leq \frac{a^{2}}{2a}= \frac{a}{2}$

                                    $\Rightarrow \frac{1}{1+a^{2}}\geq 1-\frac{a}{2}$

Nên $\sum a\left ( b+c \right )+2\left ( \sum \frac{1}{1+a^{2}} \right )\geq \sum a\left ( b+c \right )+2\left ( 3-\frac{a}{2}-\frac{b}{2} -\frac{c}{2}\right )$$= 6+\sum a\left ( b+c-1 \right )\geq 9$ (do $a,b,c\geq 1$)

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a= b= c= 1$