Chủ đề này có 1 trả lời

[elgato02]

Gỉai phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất

 

y'' + y = tanx

[nthoangcute]

Lời giải sưu tầm:

Cần giải phương trình:

$$\dfrac{d^2f(x)}{dx^2}+f(x)=\tan x$$

Đặt $$f(x)=e^{\lambda x}$$

Khi đó, $$\dfrac{d^2 e^{\lambda x}}{dx^2}+e^{\lambda x}=0$$

Lại có: $$\dfrac{d^2 e^{\lambda x}}{dx^2}=\lambda^2 e^{\lambda x}$$

Suy ra $$(\lambda^2+1)e^{\lambda x}=0$$

Do $e^{\lambda x} \neq 0$ nên $$\lambda^2+1=0$$

Do đó, đặt $$f(x)=f_1(x)+f_2(x)=c_1e^{ix}+c_2e^{-ix}=c_1e^{ix}+\dfrac{c_2}{e^{ix}}=(c_1+c_2) \cos x+i (c_1-c_2) \sin x$$

Giả định lại $c_1+c_2=c_1$ và $i(c_1-c_2)=c_2$

Ta có $$f_c(x)=c_1 \cos x+c_2 \sin x$$

Giờ cần tính $f_p(x)$

Ta có:

$$f_p(x)=f_{b_1}(x)v_1(x)+f_{b_1}(x)v_1(x)$$

Với $$v_1(x)=-\int\dfrac{g(x)f_{b_2}(x)}{W(x)} dx\\ v_2(x)=\int\dfrac{g(x)f_{b_1}(x)}{W(x)} dx$$

Và $g(x)=\tan x$ và $$W(x)=\begin{vmatrix}\cos x &\sin x \\ \dfrac{d \cos x}{dx} & \dfrac{d \sin x}{dx}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\cos x &\sin x \\ -\sin x & \cos x\end{vmatrix}=1$$

Suy ra $$\left\{\begin{matrix}v_1=\log \left ( \cos \dfrac{x}{2}-\sin \dfrac{x}{2} \right )-\log \left ( \cos \dfrac{x}{2}+\sin \dfrac{x}{2} \right )+\sin x\\ v_2=-\cos x\end{matrix}\right.$$

Từ đó ta được $$f_p(x)= \cos x \log \left(  \dfrac{ \cos \dfrac{x}{2}-\sin \dfrac{x}{2} }{ \cos \dfrac{x}{2}+\sin \dfrac{x}{2} } \right)$$

Suy ra $f(x)=f_c(x)+f_p(x)=c_1 \cos x+c_2 \sin x+ \cos x \log \left(  \dfrac{ \cos \dfrac{x}{2}-\sin \dfrac{x}{2} }{ \cos \dfrac{x}{2}+\sin \dfrac{x}{2} } \right)$$