Cho a,b,c là các số thực dương ,chứng minh rằng
$$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$$
Cho a,b,c là các số thực dương ,chứng minh rằng
$$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$$
Cho a,b,c là các số thực dương ,chứng minh rằng
$$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$$
Ta có: $\sqrt{(a+bc)(b+ca)} \leq \dfrac{(a+b)(c+1)}{2}$
Vậy ta cần chứng minh:
$(1+a+b+c)^2(1+ab+bc+ca)^2 \geq 4(a+b)(b+c)(c+a)(a+1)(b+1)(c+1)$
Lại có: $(1+a+b+c)^2(1+ab+bc+ca)^2=\left[1+(a+b+c)(ab+bc+ca)+a+b+c+ab+bc+ca \right]^2 \geq 4 \left[(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc \right](a+b+c+ab+bc+ca+abc+1)=4(a+b)(b+c)(c+a)(a+1)(b+1)(c+1)$
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Edited by hoangmac, 02-07-2013 - 18:56.
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Cho tgABC ngt (I).(I) tx BC,CA,AB tại D,E,F.M,N là tđ AB,AC.E',F' đx E,F qua IN,IM.FF' cắt EE' tại A'.CM A' là trực tâm tgBICStarted by Explorer, 11-02-2023 hình học, tam giác, ngoại tiếp and 6 more... |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab \leq 2016Started by Beethoven II, 01-01-2019 bất, đẳng, thức |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Bất đẳng thứcStarted by Nguyen Hoang Long 02, 15-02-2017 bất |
|
||
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
tìm giá trị riêng và vecto riêngStarted by tuyet tran, 07-02-2017 giá trị, vecto, tìm and 7 more... |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
bất đẳng thức hình họcStarted by Trac Huynh, 25-12-2016 bất, đẳng, thức, hình, học |
|
0 members, 1 guests, 0 anonymous users