Jump to content

Photo

$$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$$

bất đẳng thức cực trị

  • Please log in to reply
1 reply to this topic

#1
sieu dao chich

sieu dao chich

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 posts

Cho a,b,c là các số thực dương ,chứng minh rằng

$$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$$



#2
hoangmac

hoangmac

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 posts


Cho a,b,c là các số thực dương ,chứng minh rằng

$$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$$

Ta có: $\sqrt{(a+bc)(b+ca)} \leq \dfrac{(a+b)(c+1)}{2}$

Vậy ta cần chứng minh:

$(1+a+b+c)^2(1+ab+bc+ca)^2 \geq 4(a+b)(b+c)(c+a)(a+1)(b+1)(c+1)$

Lại có: $(1+a+b+c)^2(1+ab+bc+ca)^2=\left[1+(a+b+c)(ab+bc+ca)+a+b+c+ab+bc+ca \right]^2 \geq 4 \left[(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc \right](a+b+c+ab+bc+ca+abc+1)=4(a+b)(b+c)(c+a)(a+1)(b+1)(c+1)$

Vậy ta có điều phải chứng minh.


Edited by hoangmac, 02-07-2013 - 18:56.






Also tagged with one or more of these keywords: bất, đẳng, thức, và, cực, trị

1 user(s) are reading this topic

0 members, 1 guests, 0 anonymous users