Chủ đề này có 1 trả lời

[sieu dao chich]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+b=c=3$,chứng minh bất đẳng thức sau

$$\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{b+ca}}\geq3$$

 

 

[25 minutes]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+b=c=3$,chứng minh bất đẳng thức sau

$$\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{b+ca}}\geq3$$

Áp dụng AM-GM ta có $\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geqslant 3\sqrt[6]{\prod \frac{a+b}{c+ab}}$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh $\prod \frac{a+b}{c+ab}=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(c+ab)(a+bc)(b+ac)}\geqslant 1$

                           $\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geqslant (a+bc)(b+ca)(c+ab)$

Áp dụng $xy\leqslant \frac{(x+y)^2}{4}$ ta có 

           $(a+bc)(b+ac)\leqslant \frac{(a+bc+b+ac)^2}{4}=\frac{(a+b)^2(c+1)^2}{4}$

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại rồi nhân vào vói nhau ta được

            $\left [ (a+bc)(b+ac)(c+ab) \right ]^2\leqslant \frac{\left [ (a+b)(b+c)(c+a) \right ]^2\left [ (a+1)(b+1)(c+1) \right ]^2}{64}$

$\Rightarrow (a+bc)(b+ac)(c+ab)\leqslant \frac{ (a+b)(b+c)(c+a) (a+1)(b+1)(c+1) }{8}$

Từ đó ta cần chứng minh $\frac{ (a+b)(b+c)(c+a) (a+1)(b+1)(c+1) }{8}\leqslant (a+b)(b+c)(c+a)$

                          $\Leftrightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\leqslant 8$

Nhưng bất đẳng thức trên luôn đúng theo AM-GM

                          $(a+1)(b+1)(c+1)\leqslant \frac{(a+1+b+1+c+1)^3}{27}=9$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 02-07-2013 - 16:43