Chủ đề này có 1 trả lời

[eatchuoi19999]

Cho $\Delta ABC$ nhọn, đường cao $AH,BI,CK.$ Chứng minh: $S_{HIK}=(1-\cos^{2}A-\cos^{2}B-\cos^{2}C).S_{ABC}.$

 

 

 

[Juliel]

Cho $\Delta ABC$ nhọn, đường cao $AH,BI,CK.$ Chứng minh: $S_{HIK}=(1-\cos^{2}A-\cos^{2}B-\cos^{2}C).S_{ABC}.$

Áp dụng công thức : Diện tích tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin góc xen giữa. 

Dễ thấy 

$cosA=\frac{AI}{AB}=\frac{AK}{AC}$

$cosB=\frac{BK}{BC}=\frac{BH}{AB}$

$cosc=\frac{CI}{BC}=\frac{CH}{AC}$

 

Ta có : 

$\frac{S_{HIK}}{S_{ABC}}=1-\frac{S_{AKI}}{S_{ABC}}-\frac{S_{BHK}}{S_{ABC}}-\frac{S_{CHI}}{S_{ABC}}=1-\frac{1/2.AK.AI.sinA}{1/2.AB.AC.sinA}-\frac{1/2.BK.BH.sinB}{1/2.AB.BC.sinB}-\frac{1/2.CI.CH.sinC}{1/2.AC.BC.sinC}=1-\frac{AK}{AC}.\frac{AI}{AB}-\frac{BK}{BC}.\frac{BH}{AB}-\frac{CI}{BC}.\frac{CH}{AC}=1-cos^{2}A-cos^{2}B-cos^{2}C$