Chủ đề này có 13 trả lời

[Katyusha]

Cho $x,y$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$P=\frac{x^3}{x+1}+\frac{y^3}{y+1}$$

 

[IloveMaths]

Cho $x,y$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$P=\frac{x^3}{x+1}+\frac{y^3}{y+1}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

$\frac{x^3}{x+1}+\frac{x+1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{x}{2}\geq x$

$\frac{y^3}{y+1}+\frac{y+1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{y}{2}\geq y$

$\Rightarrow \frac{x^3}{x+1}+\frac{y^3}{y+1}\geq \frac{3}{4}$

[Katyusha]

GTLN mà bạn

[etucgnaohtn]

Cho $x,y$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$P=\frac{x^3}{x+1}+\frac{y^3}{y+1}$$

Nếu là tìm min : 

Cách 1 : $\frac{x^3}{x+1}\geq \frac{16x-5}{36}$$\Leftrightarrow (9x+5)(2x-1)^2\geq 0$ ( đúng vì $x$ không âm )

Tương tự $...$

$\Rightarrow P\geq \frac{16(x+y)-10}{36}=\frac{1}{6}$

Dấu $"="\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Cách 2 : $\frac{x^3}{x+1}+\frac{x+1}{18}+\frac{1}{12}\geq \frac{1}{2}$ ( cô sô 3 sí )

Tương tự ...

$\Rightarrow P\geq \frac{1}{2}(x+y)-\frac{1}{18}(x+y)-\frac{5}{18}=\frac{1}{6}$

Dấu $"="\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 04-07-2013 - 20:32

[Katyusha]

Đề có 2 ý là tìm GTNN với GTLN

[hoctrocuanewton]

tớ thấy GTLN là bằng $\frac{1}{2}$ khi x=1 , y=0 hoặc x=0,y=1

[buiminhhieu]

Cho $x,y$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$P=\frac{x^3}{x+1}+\frac{y^3}{y+1}$$

mình thư chém xem được không nhé 

Ta thấy x+y=1 mà x,y  là số thực không âm nên $0\leq x,y\leq 1ta sẽ chứng minh

$\frac{x^{3}}{x+1}\leq \frac{x^{2}}{2}$(1)

Thật vậy ta có(1)$\Leftrightarrow 2x^{3}\leq x^{3}+x^{2}\Leftrightarrow x^{3}\leq x^{2}$ điều này hiển nhiên vì$0\leq x\leq 1$

Dấu bằng xảy ra khi x=1 hoặc x=0

tương tự$\frac{y^{3}}{y+1}\leq \frac{y^{2}}{2}$

$\Rightarrow P\leq \frac{x^{2}+y^{2}}{2}=\frac{1-2xy}{2}=\frac{1}{2}-xy\leq \frac{1}{2}$

Vậy MaxP=$\frac{1}{2}$ tại=1,y=0 hoặc x=0,y=1

[buiminhhieu]

tớ thấy GTLN là bằng $\frac{1}{2}$ khi x=1 , y=0 hoặc x=0,y=1

đúng rồi đó mình làm theo kết quả bạn nè

[hoctrocuanewton]

đúng rồi đó mình làm theo kết quả bạn nè

cậu làm đúng rồi . cách giải khá hay đó nhưng không biết còn cách nào nữa không nhỉ

[buiminhhieu]

cậu làm đúng rồi . cách giải khá hay đó nhưng không biết còn cách nào nữa không nhỉ

dạng này chắc chắn có cách khác nhưng cơ bản minh chưa nghĩ ra

 

 

[trananh2771998]

mình thư chém xem được không nhé 

Ta thấy x+y=1 mà x,y  là số thực không âm nên $0\leq x,y\leq 1ta sẽ chứng minh

$\frac{x^{3}}{x+1}\leq \frac{x^{2}}{2}$(1)

Thật vậy ta có(1)$\Leftrightarrow 2x^{3}\leq x^{3}+x^{2}\Leftrightarrow x^{3}\leq x^{2}$ điều này hiển nhiên vì$0\leq x\leq 1$

Dấu bằng xảy ra khi x=1 hoặc x=0

tương tự$\frac{y^{3}}{y+1}\leq \frac{y^{2}}{2}$

$\Rightarrow P\leq \frac{x^{2}+y^{2}}{2}=\frac{1-2xy}{2}=\frac{1}{2}-xy\leq \frac{1}{2}$

Vậy MaxP=$\frac{1}{2}$ tại=1,y=0 hoặc x=0,y=1

Cách giải hay đó bạn. Làm thế nào để nghĩ ra được hướng đó vậy

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trananh2771998: 04-07-2013 - 19:50

[hieuvipntp]

cái đó đúng rồi bạn

đâu có ngược dấu gì đâu

[buiminhhieu]

 

Cách giải hay đó bạn. Làm thế nào để nghĩ ra được hướng đó vậy

 

 

 

 

ờ thì mình nghĩ tử bậc 3 mẫu bậc 1 thì nó phải lớn hơn 1 đa thức x bậc 2 thêm x chạy từ 0 đến 1 xong rồi mò dần là ra mà

ai cũng bảo hay mà chẳng ai like nhể thật khó hiểu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 04-07-2013 - 20:34

[duc12116]

Cách thứ 2 đơn giản hơn nhiều bởi vì nó sử dụng kiến thức THPT, chỉ cần 2 biến x, y về một biến t rồi khảo sát hàm số

Đại loại thì x= 1/2 +t ; y= 1/2 -t