Chủ đề này có 7 trả lời

[gogeta]

1. Tìm a, b sao cho hệ phương trình $x^2+ax+6=0$, $x^2+bx+12=0$ có ít nhất 1 nghiệm chung và $\left | a \right |+\left | b \right |$ đạt GTNN.

2. Cho $x, y, z\in \mathbb{R}$ sao cho: $x+y+z=2$ và $xy+yz+zx=1$. Chứng minh $0\leqslant z\leqslant \frac{4}{3}$.

3. Chứng minh phương trình $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq 0$) có nghiệm nếu $\frac{2b}{a}\geqslant \frac{c}{a}+4$.

4. Cho phương trình: $x^2+(m-1)x+6=0$. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ sao cho: $A=(x_1^2-9)(x_2^2-4)$ đạt GTLN.

5. Cho hệ phương trình: $x+ay=1, -ax+y=a$.

a) Chứng minh hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất.

b) Tìm a để phương trình có nghiệm (x;y) sao cho x, y<1.

6. Giải hệ phương trình: $\sqrt{x+1}+\sqrt{y}=1;\sqrt{x}+\sqrt{y-2}=4$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gogeta: 04-07-2013 - 12:56

[buiminhhieu]

1. Tìm a, b sao cho hệ phương trình $x^2+ax+6=0$, $x^2+bx+12=0$ có ít nhất 1 nghiệm chung và $\left | a \right |+\left | b \right |$ đạt GTNN.

2. Cho $x, y, z\in \mathbb{R}$ sao cho: $x+y+z=2$ và $xy+yz+zx=11$. Chứng minh $0\leqslant z\leqslant \frac{4}{3}$.

3. Chứng minh phương trình $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq 0$) có nghiệm nếu $\frac{2b}{a}\geqslant \frac{c}{a}+4$.

4. Cho phương trình: $x^2+(m-1)x+6=0$. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ sao cho: $A=(x_1^2-9)(x_2^2-4)$ đạt GTLN.

5. Cho hệ phương trình: $x+ay=1, -ax+y=a$.

a) Chứng minh hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất.

b) Tìm a để phương trình có nghiệm (x;y) sao cho x, y<1.

6. Giải hệ phương trình: $\sqrt{x+1}+\sqrt{y}=1;\sqrt{x}+\sqrt{y-2}=4$.

câu 2 hình như sai đề bạn ạ phải là xy+yz+zx=1 chứ? bạn xem đề đúng không

[phatthemkem]

6. Giải hệ phương trình: $\sqrt{x+1}+\sqrt{y}=1;\sqrt{x}+\sqrt{y-2}=4$.

ĐK $x\geq 0,y\geq 2$

Từ ĐK ta suy ra $\sqrt{x+1}+\sqrt{y}\geq 1+\sqrt{2}> 1$

Vậy hệ vô nghiệm.

[phatthemkem]

 

2. Cho $x, y, z\in \mathbb{R}$ sao cho: $x+y+z=2$ và $xy+yz+zx=1$. Chứng minh $0\leqslant z\leqslant \frac{4}{3}$.

Ta có

$\left\{\begin{matrix} x+y+z=2\\ xy+yz+zx=1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2-(y+z) & (1)\\ x(y+z)+yz=1 & (2) \end{matrix}\right.$

Lấy $(1)$ thế vào $(2)$, ta được

$\left [ 2-(y+z) \right ](y+z)+yz=1 \Leftrightarrow y^2+(z-2)y+(z-1)^2=0$

$\Delta \geq 0\Leftrightarrow (z-2)^2-4(z-1)^2\geq 0\Leftrightarrow 3z^2-4z\leq 0\Leftrightarrow 0\leq z\leq \frac{4}{3}$

[phatthemkem]

3. Chứng minh phương trình $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq 0$) có nghiệm nếu $\frac{2b}{a}\geqslant \frac{c}{a}+4$.

Ta có $\frac{2b}{a}\geqslant \frac{c}{a}+4\Leftrightarrow 2b\geq c+4a$

$\Delta =b^2-4ac=\frac{4b^2-16ac}{4}\geq \frac{(c+4a)^2-16ac}{4}=\frac{(c-4a)^2}{4}\geq 0\Rightarrow \Delta \geq 0$

Vậy...

[hieuvipntp]

gọi nghiệm chung là $x_{0}$

 $x_{0}^{2}+ax_{0}+6=0$

$x_{0}^{2}+bx_{0}+12=0$

cộng 2 pt trên 

$2x_{0}^{2}+(a+b)x+18=0$

$\Delta =(a+b)^{2}-144\geq 0$

$\Leftrightarrow \left | a+b \right |\geq 12$

ta lại có:

$\left | a \right |+\left | b \right |\geq \left | a+b \right |\geq 12$

dấu$=$ xảy ra khi $a+b=12 và a,b$ cùng dấu

hay $x_{0}=\frac{-b}{2a}$ 

thế x vào rồi sẽ ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieuvipntp: 08-07-2013 - 15:49

[gogeta]

Ta có $\frac{2b}{a}\geqslant \frac{c}{a}+4\Leftrightarrow 2b\geq c+4a$

$\Delta =b^2-4ac=\frac{4b^2-16ac}{4}\geq \frac{(c+4a)^2-16ac}{4}=\frac{(c-4a)^2}{4}\geq 0\Rightarrow \Delta \geq 0$

Vậy...

Điều đó chỉ đúng khi a>0 thôi!

[gogeta]

5. Cho hệ phương trình: $x+ay=1, -ax+y=a$.

a) Chứng minh hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất.

b) Tìm a để phương trình có nghiệm (x;y) sao cho x, y<1.

Giải:

a) Vì $x+ay=1, -ax+y=a$ là HPT nên a khác 0.

Do đó: $\frac{1}{-a}\neq \frac{a}{1}$. Vậy HPT có nghiệm duy nhất.

b) Ta có:

     $x+ay=1, -ax+y=a$ $\Leftrightarrow$ $x=1-ay;-ax+y=a \Leftrightarrow -a(1-ay)+y=a \Leftrightarrow (a^2+1)y=2a$

Mà $a^2+1\geq 2a$ nên $y\leq 1$.

Lại có: $x+ay=1, -ax+y=a \Leftrightarrow x+ay=1;y=a+ax\Leftrightarrow (a^2+1)x=1-a^2$

Mà $a^2+1\geq 1-a^2$ nên $x\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gogeta: 16-07-2013 - 13:00