Chủ đề này có 9 trả lời

[Yagami Raito]

$\boxed{1}$. Cho $a^2+a+1=0$

a) Tính $P=a^{2013}+\dfrac{1}{a^{2013}}$

 

b) Chứng minh:

$$a^{1930}+\dfrac{1}{a^{1930}}=a^{1945}+\dfrac{1}{a^{1945}}=a^{1975}+\dfrac{1}{a^{1975}}$$

 

$\boxed{2}$. Cho đa thức 

$f(x)=x^3+px+q$ có 3 nghiệm và $q$ khác $0$. Chứng minh : $p<0$

 

$\boxed{3}$  

Cho $a,b,c$ đôi 1  khác nhau thoả mãn

$\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}=0$

Chứng minh trong 3 số $a,b$ phải có 1 số âm 1 số dương 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 05-07-2013 - 08:11

[phatthemkem]

 

$\boxed{2}$. Cho đa thức 

$f(x)=x^3+px+q$ có 3 nghiệm và $q$ khác $0$. Chứng minh : $p<0$

 

Vì pt có $3$ nghiệm nên $D< 0$

Hay $\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}< 0$

Mà vì $q$ khác $0$ nên $\frac{q^2}{4}> 0$

Suy ra $\frac{p^3}{27}< 0\Leftrightarrow p< 0$

[phatthemkem]

$\boxed{1}$. Cho $a^2+a+1=0$

a) Tính $P=a^{2013}+\dfrac{1}{a^{2013}}$

 

b) Chứng minh:

$$a^{1930}+\dfrac{1}{a^{1930}}=a^{1945}+\dfrac{1}{a^{1945}}=a^{1975}+\dfrac{1}{a^{1975}}$$

 

Câu $1$ xem lại đề bạn nhá $a^2+a+1=(a+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}> 0\forall a$

Như vậy không có số $a$ thỏa mãn điều kiện bài toán nên không tính giá trị của $P$ được.

[datcoi961999]

Vì pt có $3$ nghiệm nên $D< 0$

Hay $\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}< 0$

Mà vì $q$ khác $0$ nên $\frac{q^2}{4}> 0$

Suy ra $\frac{p^3}{27}< 0\Leftrightarrow p< 0$

D là gì vây anh?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datcoi961999: 05-07-2013 - 09:13

[phatthemkem]

D là gì vây anh?

Cho pt bậc $3$ ẩn $x$ $x^3+ax+b=0$

pt có một nghiệm khi $D> 0$

pt có hai nghiệm khi $D=0$

pt có ba nghiệm khi $D< 0$

Với $D=\frac{a^3}{27}+\frac{b^2}{4}$

[datcoi961999]

Câu $1$ xem lại đề bạn nhá $a^2+a+1=(a+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}> 0\forall a$

Như vậy không có số $a$ thỏa mãn điều kiện bài toán nên không tính giá trị của $P$ được.

Ở đây $a$ vẫn có nghiệm vì $a$ không chỉ thuộc tập hợp số thực đâu anh?

(thầy em bảo vậy!!!      )

[DarkBlood]

$\boxed{1}$. Cho $a^2+a+1=0$

a) Tính $P=a^{2013}+\dfrac{1}{a^{2013}}$

 

b) Chứng minh:

$$a^{1930}+\dfrac{1}{a^{1930}}=a^{1945}+\dfrac{1}{a^{1945}}=a^{1975}+\dfrac{1}{a^{1975}}$$

 

$\boxed{3}$  

Cho $a,b,c$ đôi 1  khác nhau thoả mãn

$\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}=0$

Chứng minh trong 3 số $a,b$ phải có 1 số âm 1 số dương 

 

Bài 1: Hình như bài này $a$ là số phức?

$a)$ Từ phương trình đã cho suy ra $a\neq 1$

Do đó: $a^2+a+1=0\Leftrightarrow (a-1)(a^2+a+1)=0\Leftrightarrow a^3=1$

Ta có: $a^{2013}+\dfrac{1}{a^{2013}}=(a^3)^{671}+\dfrac{1}{(a^3)^{671}}=1+1=2$

 

$b)$ Ta chứng minh với mọi số tự nhiên $n$ chia $3$ dư $1$ thì $A=a^n+\dfrac{1}{a^n}=-1.$

Thật vậy, đặt $n=3k+1\ (k\in \mathbb{N})$

Ta có $A=(a^3)^k.a+\dfrac{1}{(a^3)^k.a}=a+\dfrac{1}{a}=\dfrac{a^2+1}{a}=\dfrac{-a}{a}=-1$ $($Vì $a^2+a+1=0)$

 

Nhận thấy $1930\ ;\ 1945\ ;\ 1975$ chia $3$ đều có số dư là $1$ nên $a^{1930}+\dfrac{1}{a^{1930}}=a^{1945}+\dfrac{1}{a^{1945}}=a^{1975}+\dfrac{1}{a^{1975}}=-1$

 

Bài 3: Xem tại đây.

[nk0kckungtjnh]

Câu $1$ xem lại đề bạn nhá $a^2+a+1=(a+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}> 0\forall a$

Như vậy không có số $a$ thỏa mãn điều kiện bài toán nên không tính giá trị của $P$ được.

 Ở đây $a$ là số ảo đấy bạn à... Mình không nghiên cứu sâu về vấn đề này nên khó có thể giải thích rõ được... Bạn lên google tìm thêm thông tin nhé!! 

P/s:  Đây là 1 bài trong $1$ đề thi năm $1981$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nk0kckungtjnh: 05-07-2013 - 11:18

[nk0kckungtjnh]

Bài 1: Hình như bài này $a$ là số phức?

$a)$ Từ phương trình đã cho suy ra $a\neq 1$

Do đó: $a^2+a+1=0\Leftrightarrow (a-1)(a^2+a+1)=0\Leftrightarrow a^3=1$

Ta có: $a^{2013}+\dfrac{1}{a^{2013}}=(a^3)^{671}+\dfrac{1}{(a^3)^{671}}=1+1=2$

 

$b)$ Ta chứng minh với mọi số tự nhiên $n$ chia $3$ dư $1$ thì $A=a^n+\dfrac{1}{a^n}=-1.$

Thật vậy, đặt $n=3k+1\ (k\in \mathbb{N})$

Ta có $A=(a^3)^k.a+\dfrac{1}{(a^3)^k.a}=a+\dfrac{1}{a}=\dfrac{a^2+1}{a}=\dfrac{-a}{a}=-1$ $($Vì $a^2+a+1=0)$

 

Nhận thấy $1930\ ;\ 1945\ ;\ 1975$ chia $3$ đều có số dư là $1$ nên $a^{1930}+\dfrac{1}{a^{1930}}=a^{1945}+\dfrac{1}{a^{1945}}=a^{1975}+\dfrac{1}{a^{1975}}=-1$

 

Bài 3: Xem tại đây.

[Strygwyr]

 

$\boxed{2}$. Cho đa thức 

$f(x)=x^3+px+q$ có 3 nghiệm và $q$ khác $0$. Chứng minh : $p<0$

 

 

Vì pt có $3$ nghiệm nên $D< 0$

Hay $\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}< 0$

Mà vì $q$ khác $0$ nên $\frac{q^2}{4}> 0$

Suy ra $\frac{p^3}{27}< 0\Leftrightarrow p< 0$

Mấy em nó chưa học đến công thức nghiêm Các-đa-nô đâu bác ạ

Có thể giải như sau. Gọi $x_1$ và $x_2$ là 2 nghiệm nào đó của phương trình($x_1\neq x_2$)

Ta có :

$x_1^{3}+px_1+q=0$

 

$x_2^{3}+px_2+q=0$

 

Suy ra : $(x_1-x_2)(x_1^{2}+x_1x_2+x_2^{2}+p)=0\Rightarrow x_1^{2}+x_1x_2+x_2^{2}=-p$

$\Rightarrow p=-(\frac{1}{2}(x_1+x_2)^{2}+\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2})<0$

p/s : bài  này hình như là Brazil MO năm nào đó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 05-07-2013 - 11:37