Chủ đề này có 3 trả lời

[tuyhuyenan]

Chứng minh BĐT: $a+b^{2}+c^{3}-ab-bc-ca\leqslant 1$. Biết $0\leqslant a,b,c\leqslant 1$

 

[etucgnaohtn]

Chứng minh BĐT: $a+b^{2}+c^{3}-ab-bc-ca\leqslant 1$. Biết $0\leqslant a,b,c\leqslant 1$

Từ gt suy ra $(a-1)(b-1)(c-1)\leq 0$

$\Rightarrow abc+a+b+c-(ab+bc+ac)\leq 1$

Lại có $0\leq b\leq 1$ nên $b^2\leq b$ $(1)$ 

$0\leq c\leq 1\Rightarrow \left\{\begin{matrix}c^3\leq c^2 & & \\ c^2\leq c & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow c^3\leq c$ $(2)$ 

Mà $abc\geq 0$ $(3)$

Từ $(1) ; (2) ; (3)$ suy ra $a+b^2+c^3-(ab+bc+ac)\leq a+b+c+abc-(ab+bc+ac)\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 06-07-2013 - 06:36

[taideptrai]

Từ gt suy ra $(a-1)(b-1)(c-1)\leq 0$

$\Rightarrow abc+a+b+c-(ab+bc+ac)\leq 1$

Lại có $0\leq b\leq 1$ nên $b^2\leq b$ $(1)$ 

$0\leq c\leq 1\Rightarrow \left\{\begin{matrix}c^3\leq c^2 & & \\ c^2\leq c & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow c^3\leq c$ $(2)$ 

Mà $abc\geq 0$ $(3)$

Từ $(1) ; (2) ; (3)$ suy ra $a+b^2+c^3-(ab+bc+ac)\leq a+b+c+abc-(ab+bc+ac)\leq 1$

rất hay nhưng tớ bổ sung thêm đk dấu bằng xảy ra khi trong 3 số có 2 số bằng 1 và 1 số bằng 0

[etucgnaohtn]

rất hay nhưng tớ bổ sung thêm đk dấu bằng xảy ra khi trong 3 số có 2 số bằng 1 và 1 số bằng 0

Hoặc 1 số bằng 1 và 2 số bằng 0