Chủ đề này có 2 trả lời

[ocean99]

 

Cho các số thực dương x, y thoả mãn $(x + y - 1)^2 = xy$. Tìm giá trị min của biểu thức:

$P = \frac{1}{xy} + \frac{1}{x^2+  y^2} + \frac{\sqrt[]{xy}}{x + y}$

 

[SOYA264]

Cho các số thực dương x, y thoả mãn $(x + y - 1)^2 = xy$. Tìm giá trị min của biểu thức:

$P = \frac{1}{xy} + \frac{1}{x^2+  y^2} + \frac{\sqrt[]{xy}}{x + y}$

 

Giả thiết: $(x + y - 1)^2 = xy$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x+y=\sqrt{xy}+1 & \\ x+y=-\sqrt{xy}+1 & \end{bmatrix}$

 

$P = \frac{1}{xy} + \frac{1}{x^2+  y^2} + \frac{\sqrt[]{xy}}{x + y}$

 

      =$\frac{1}{xy}+\frac{1}{(x+y)^{2}-2xy}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}$

    

    Ở đây sẽ có 2 TH, nhưng ta nhận ra rằng P có giá trị nhỏ nhất trong TH: $x+y=\sqrt{xy}+1$

 

Vì: $\frac{1}{xy}+\frac{1}{-xy+2\sqrt{xy}+1}+\frac{\sqrt{xy}}{1+\sqrt{xy}}< \frac{1}{xy}+\frac{1}{-xy-2\sqrt{xy}+1}+\frac{\sqrt{xy}}{1-\sqrt{xy}},(\forall x,y> 0)$

Do đó 

     P=$\frac{1}{xy}+\frac{1}{(\sqrt{xy}+1)^{2}-2xy}+\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}+1}$

 

     =$\frac{1}{xy}+\frac{1}{-xy+2\sqrt{xy}+1}+\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}+1}$

 

Đặt $\sqrt{xy}=t$ theo giả thiết, ta có: $xy=(x+y-1)^{2}\geq (2\sqrt{xy})\Leftrightarrow 3xy-4\sqrt{xy}+1=0\Leftrightarrow \frac{1}{3}\leq \sqrt{xy}\leq 1$ hay $\frac{1}{3}\leq t\leq 1$

Khi đó:

$P=\frac{1}{t^{2}}+\frac{1}{(-t^{2}+2t+1)}+\frac{t}{t+1}$

 

Xét hàm: $f(t)=\frac{1}{t^{2}}+\frac{1}{(-t^{2}+2t+1)}+\frac{t}{t+1}$ trên $[\frac{1}{3};1]$

 

Ta có: $f'(t)=\frac{-2}{t^{3}}-\frac{2(1-t)}{(-t^{2}+2t+1)^{2}}+\frac{1}{(t+1)^{2}}$

 

Ta thấy: $t^{3}\leq 1;(t+1)^{2}\geq 1\Rightarrow \frac{-2}{t^{3}}+\frac{1}{(t+1)^{2}}<0 ,\forall t\in[\frac{1}{3};1]$

Suy ra: $f'(t)< 0,\forall t\in [\frac{1}{3};1]$

 

$\Rightarrow$Hàm $f(t)$ nghịch biến trên $[\frac{1}{3};1]$

Suy ra $f(t)\geq f(1)=2$

 

Vậy $minP=2$, đạt được khi $x=y=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SOYA264: 06-07-2013 - 12:18

[ngocduy286]

 

Giả thiết: $(x + y - 1)^2 = xy$$\Leftrightarrow x+y=\sqrt{xy}+1$

 

 

Bạn thiếu trường hợp $x+y-1=- \sqrt{xy}$ nữa