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[eatchuoi19999]

Cho $P=\frac{yz\sqrt{x-1}+zx\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}.$Tìm Max $P.$

 

[25 minutes]

Cho $P=\frac{yz\sqrt{x-1}+zx\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}.$Tìm Max $P.

Ta có $P=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{z-3}}{z}$

Áp dụng Am-GM ta có $\frac{\sqrt{x-1}}{x}\leqslant \frac{1}{2}$

                                   $\frac{\sqrt{y-2}}{y}\leqslant \frac{1}{2\sqrt{2}}$

                                   $\frac{\sqrt{z-3}}{z}\leqslant \frac{1}{2\sqrt{3}}$

Cộng 3 bất đẳng thức trên lại ta có $P\leqslant \frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}$

[Juliel]

Cho $P=\frac{yz\sqrt{x-1}+zx\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}.$Tìm Max $P.$

Theo BĐT AM-GM :

$P=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{z-3}}{z}=\frac{\sqrt{1.(x-1)}}{x}+\frac{\sqrt{2(y-2)}}{y\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3(z-3)}}{z\sqrt{3}}\leq \frac{1+(x-1)}{2x}+\frac{2+(y-2)}{2y\sqrt{2}}+\frac{3+(z-3)}{2z\sqrt{3}}=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}})$

$MaxP=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}})\Leftrightarrow x=2;y=4;z=6$