Câu 1:
1. Trục căn thức ở mẫu: $\frac{1}{1+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}}$
2. Giải phương trình và hệ phương trình:
a. $\sqrt{3x-5}+ \sqrt{7-3x}=9x^{2}-36x+38$
b. $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=2 &&\\\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}=4& & \end{matrix}\right.$
Câu 2:
1. Trong mặt phẳng $\mathit{Oxy}$, cho parabol ($\mathit{P}$): $\mathit{y=-x^{2}}$ và đường thẳng ($\mathit{d}$) đi qua điểm $\mathit{I(0;1)}$ có hệ số góc k (k $\in\mathbb{R}$)
a. Chứng minh rằng ($\mathit{d}$) luôn cắt ($\mathit{P}$) tại hai điểm phân biệt $\mathit{A}$ và $\mathit{B}$ với mọi k $\in\mathbb{R}$.
b. Chứng minh rằng tam giác $\mathit{OAB}$ vuông. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác $\mathit{OAB}$.
2. Giả sử phương trình $ax^{2}+bx+cx=0$ có hai nghiệm $x_{1} và x_{2}$.
Đặt $S_{n}=x_{1}^{n}+x_{1}^{n}$ (n$\in\mathbb{N}$). Chứng minh rằng $aS_{n+2}+bS_{n+1}+cS_{n}=0$ với mọi n$\in\mathbb{N}$.
Áp dụng: Tính $\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{7}+\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{7}$
Câu 3:
1. Cho $\mathit{x,y>0}$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$
2. Cho $\mathit{a,b,c>0}$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{2a+b+c}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $\mathit{P}=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}$
Câu 4:
1. Tìm tất các số nguyên tố $\mathit{a,b,c}$ sao cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$
2. Chứng mình rằng trong 5 số nguyên tố bất kì luôn chọn được 3 số có tổng chia hết cho 3.
Câu 5:
Cho tam giác $\mathit{ABC}$ cố đinh, cân tại $\mathit{A}$ nội tiếp đường tròn ($\mathit{O}$;$\mathit{R}$), $\mathit{M}$ là điểm di động trên đoạn thẳng $\mathit{BC}$ ($\mathit{M}$ khác $\mathit{B}$ và $\mathit{C}$). Vẽ đường tròn tâm $\mathit{D}$ qua $\mathit{M}$ và tiếp xúc với $\mathit{AB}$ tại $\mathit{B}$. Vẽ đường tròn tâm $\mathit{E}$ qua $\mathit{M}$ tiếp xúc với $\mathit{AC}$ tại $\mathit{C}$. Gọi $\mathit{N}$ là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ($\mathit{D}$) và ($\mathit{E}$).
1. Chứng minh rằng: $\mathit{N}$ thuộc đường tròn ($\mathit{O}$;$\mathit{R}$) và $\mathit{A}$,$\mathit{M}$,$\mathit{N}$ thẳng hàng.
2. Chứng mình rằng: $\mathit{MB}$.$\mathit{MC}$=$\mathit{R}^{2}$-$\mathit{OM}^{2}$.
3. Xác định vị trí điểm $\mathit{M}$ sao cho $\mathit{MA}$.$\mathit{MN}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
4. Gọi $\mathit{I}$ là trung điểm của đoạn thẳng $\mathit{DE}$. Chứng minh rằng: diện tích tam giác $\mathit{IBC}$ không đổi.
--- Hết ---
BBT xin trân trọng cảm ơn bạn Phan Ngọc Thơ đã cung cấp cho chúng tôi đề thi này.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi THYH: 07-07-2013 - 10:34