Chủ đề này có 2 trả lời

[Strygwyr]

Cho $\triangle ABC$. Đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác tiếp xúc với $BC$ tại $D$. Đường tròn bàng tiếp góc $B$ của tam giác tiếp xúc với $CA$ tại $E$. Đường tròn bàng tiếp góc $C$ của tam giác tiếp xúc với $AB$ tại $F$. Chứng minh $AD$,$BE$,$CF$ đồng quy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 07-07-2013 - 09:11

[Juliel]

Cho $\triangle ABC$. Đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác tiếp xúc với $BC$ tại $D$. Đường tròn bàng tiếp góc $B$ của tam giác tiếp xúc với $CA$ tại $E$. Đường tròn bàng tiếp góc $C$ của tam giác tiếp xúc với $AB$ tại $F$. Chứng minh $AD$,$BE$,$CF$ đồng quy.

Gọi $R_{a},R_{b},R_{c}$ theo thứ tự là bán kính đường tròn bàng tiếp trong góc A,B,C.

Gọi G là tâm đường tròn bàng tiếp góc A.

Ta có :

$\frac{BD}{DG}=cot\widehat{DBG}\Rightarrow \frac{BD}{R_{a}}=cot\left ( \frac{180^{\circ}-\widehat{B}}{2} \right )$

$\frac{DC}{DG}=cot\widehat{DCG}\Rightarrow \frac{DC}{R_{a}}=cot\left ( \frac{180^{\circ}-\widehat{C}}{2} \right )$

Suy ra : $\frac{BD}{DC}=\frac{cot\left ( \frac{180^{\circ}-\widehat{B}}{2} \right )}{cot\left ( \frac{180^{\circ}-\widehat{C}}{2} \right )}$

Tương tự , ta có :

$\frac{EC}{AE}=\frac{cot\left ( \frac{180^{\circ}-\widehat{C}}{2} \right )}{cot\left ( \frac{180^{\circ}-\widehat{A}}{2} \right )}$

$\frac{AF}{FB}=\frac{cot\left ( \frac{180^{\circ}-\widehat{A}}{2} \right )}{cot\left ( \frac{180^{\circ}-\widehat{B}}{2} \right )}$

 

Do đó :

$\frac{BD}{DC}.\frac{EC}{AE}.\frac{AF}{FB}=1$

Theo định lí Ceva đảo thì $AD,BE,CF$ đồng quy

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 07-07-2013 - 11:00

[Strygwyr]

Sau ý tưởng dùng Ceva đảo của Juliel, mình đã nghĩ ra một cách không cách dùng đến lượng giác

Giả sử $G$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ và tiếp xúc với đường thẳng $AB$,$AC$ lần lượt tại $M$ và $N$.

Gọi $p$ là nửa chu vi tam giác $ABC$. Đặt $BC=a$,$CA=b$,$AB=c$.

Khi đó $AM+AN=AB+BC+CA=2p\Rightarrow AM=AN=p$

Suy ra $BD=BM=AM-AB=p-c$ và $CD=BC-BD=a+c-p$

$\Rightarrow \frac{BD}{CD}=\frac{p-c}{a+c-p}=\frac{a+b-c}{a+c-b}$

Tương tự  $\frac{CE}{AE}=\frac{b+c-a}{b+a-c}$ và $\frac{AF}{FB}=\frac{c+a-b}{c+b-a}$

Do đó : $\frac{BD}{CD}.\frac{CE}{AE}.\frac{AF}{FB}=1$ suy ra $AD$,$BE$,$CF$ đồng quy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 07-07-2013 - 15:42