Câu 1:Cho tam giác $ABC$. Đường tròn bàng tiếp góc $A$ cắt các cạnh $AB$, $AC$ tương ứng tại $P$ và $Q$; đường tròn bàng tiếp góc $B$ cắt các cạnh $BA$, $BC$ tương ứng tại $M$ và $N$. Gọi $K$ là hình chiếu của $C$ lên $MN$ và $L$ là hình chiếu của $C$ lên $PQ$. Chứng minh rằng tứ giác $MKLP$ là tứ giác nội tiếp
Câu 2:Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn $x^5+4^{y}=2013^{z}$
Câu 3:Giả sử $S$ là tập số thực dương. Tìm tất cả các hàm số $f:S\rightarrow S^{3}$ thỏa mãn các điều kiện sau với mọi số thực dương $x,y,z,k$
- $xf(x,y,z)=zf(z,x,y)$
- $f(x,ky,k^2z)=kf(x,y,z)$
- $f(1,k,k+1)=k+1$
Câu 4::Trong 1 cuộc thi toán, có 1 số toán thủ quen nhau. 2 toán thủ được coi là bạn nhau nếu $A$ là bạn của $B$ thì $B$ cũng là bạn của $A$. Chúng ta nói rằng $n\geq 3$ các toán thủ khác nhau $A_{1}, A_{2},...,A_{n}$ tạo thành 1 vòng tròn tình bạn không bền (weakly-friendly circle) nếu $A_{i}$ không phải là bạn của $A_{i+1}$ với mọi $1\leq i\leq n$ (quy ước $A_{n+1}=A_{1}$), và không có bất cứ cặp đôi nào khác mà 2 người đó không phải là bạn của nhau.
Cho biết điều kiện sau đây thỏa mãn:"Với mọi toán thủ $C$ và tất cả các vòng tròn tình bạn không bền $S$ không chứa $C$, tập hợp 1 số các toán thủ $D$ của $S$ không phải là bạn của $C$ có ít nhất 1 người."
Chứng minh rằng:Ta có thể chia tất cả các toán thủ của cuộc thi vào 3 phòng, sao cho bất cứ 2 toán thủ ở cùng phòng đều là bạn của nhau.