Chủ đề này có 3 trả lời

[thangthaolinhdat]

1. Cho a, b là các số thực Tm: a+b$\neq 0$

CM: $a^{2}+b^{2}+(\frac{ab+1}{a+b})^{2}\geq 2$

 

[trauvang97]

1. Cho a, b là các số thực Tm: a+b$\neq 0$

CM: $a^{2}+b^{2}+(\frac{ab+1}{a+b})^{2}\geq 2$

 

Đặt: $c=-\frac{ab+1}{a+b}$, khi đó ta có: $ab+bc+ca=-1$

 

Mặt khác, ta có: $a^{2}+b^{2}+\left ( \frac{ab+1}{a+b} \right )^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq -2(ab+bc+ca)=2$ (đpcm)

[Christian Goldbach]

1. Cho a, b là các số thực Tm: a+b$\neq 0$

CM: $a^{2}+b^{2}+(\frac{ab+1}{a+b})^{2}\geq 2$

$a^2+b^2+\left ( \frac{ab+1}{a+b} \right )^2\geq 2\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab-2(ab+1)+\left ( \frac{ab+1}{a+b} \right )^2\geq 0\Leftrightarrow (a+b)^2-2.(\frac{ab+1}{a+b}).(a+b)+(\frac{ab+1}{a+b})^2\geq 0\Leftrightarrow (a+b-\frac{ab+1}{a+b})^2\geq 0$

[dark magician girl]

$a^{2}+b^{2}+(\frac{ab+1}{a+b})^{2}= (a+b)^{2}-2ab-2+(\frac{ab+1}{a+b})^{2}+2= (a+b-\frac{ab+1}{a+b})^{2}+2\geqslant 2$

vậy được đpcm