Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

2.$(1+x-\sqrt{x^{2}-1})^{2008}+(1+x+\sqrt{x^{2}-1})^{2008}= 2^{2009}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 thangthaolinhdat

thangthaolinhdat

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Nguyễn Du - Quảng Xương - Thanh Hóa

Đã gửi 07-07-2013 - 16:34

Tìm nghiệm nguyên dương

1.$\sqrt{a}+\sqrt{b}= \sqrt{1998}$

 

2.$(1+x-\sqrt{x^{2}-1})^{2008}+(1+x+\sqrt{x^{2}-1})^{2008}= 2^{2009}$



#2 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 07-07-2013 - 18:56

2.$(1+x-\sqrt{x^{2}-1})^{2008}+(1+x+\sqrt{x^{2}-1})^{2008}= 2^{2009}$

ĐK : $ x \geqslant 1$

Nhận thấy $x=1$ là nghiệm của phương trình đã cho 

Với $x=2$ phương trình đã cho vô nghiệm

Với $x>2, x \in N$ ta có 

                 $(1+x-\sqrt{x^2-1})^{2008}> 1^{2008}=1$  

            Và $(1+x+\sqrt{x^2-1})^{2008} \geqslant (1+3+\sqrt{3^2-1})^{2008}=(4+2\sqrt{2})^{2008}> 2^{2009}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=1$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3 phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tường THPT số 1 Đức Phổ, huyện Đức Phổ, tỉnh Quảng Ngãi
  • Sở thích:Ăn kem

Đã gửi 07-07-2013 - 20:53

Tìm nghiệm nguyên dương

1.$\sqrt{a}+\sqrt{b}= \sqrt{1998}$

 

Cách của mình còn dài, không biết có cách nào ngắn hơn không

$\sqrt{a}+\sqrt{b}= \sqrt{1998}\Leftrightarrow (a+b)-1998=-2\sqrt{ab}$

$\Leftrightarrow (a+b)^2-2.1998(a+b)+1998^2=4ab$

$\Leftrightarrow (a-b)^2-2.1998(a-b)+1998^2=4.1998b$

$\Leftrightarrow (a-b-1998)^2=4.1998b$

Vì $VT$ chính phương nên $VP$ chũng chính phương, suy ra $b\vdots 222\Rightarrow b=222k(k\in \mathbb{N})\Rightarrow \sqrt{b}=\sqrt{222k}$

Để ý rằng $\sqrt{b}< \sqrt{1998}=3\sqrt{222}\Leftrightarrow k\leq 8$


  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39


#4 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 07-07-2013 - 21:43

Tìm nghiệm nguyên dương

1.$\sqrt{a}+\sqrt{b}= \sqrt{1998}$

 

2.$(1+x-\sqrt{x^{2}-1})^{2008}+(1+x+\sqrt{x^{2}-1})^{2008}= 2^{2009}$

1. Viết phương trình thành :  $\sqrt{a}+\sqrt{b}=3\sqrt{222}$

Vì $a,b$ nguyên dương nên $\sqrt{a},\sqrt{b}$ phải là các tích chứa căn thức $\sqrt{222}$

Đặt $\sqrt{a}=m\sqrt{222};\sqrt{b}=n\sqrt{222}$ ($m,n\in Z^{+}$ )

$\Rightarrow (m+n)\sqrt{222}=3\sqrt{222}\Rightarrow m+n=3$

$\Rightarrow (m;n)=(2;1);(2;1)$

Khi đó tìm được $(a;b)=(888;222);(222;888)$

 

2. Vì x nguyên dương nên xét các trường hợp

  • Xét $x = 1$, phương trình được thỏa mãn. 
  • Xét $x=2$, ta được :

$(1+x-\sqrt{x^{2}-1})^{2008}+(1+x+\sqrt{x^{2}-1})^{2008}=(3-\sqrt{3})^{2}+(3+\sqrt{3})^{2008}>(3+\sqrt{3})^{2008}>4^{2008}=2^{4016}>2^{2009}$

Phương trình vô nghiệm

  • Xét $x > 2$ ta có :

$(1+x-\sqrt{x^{2}-1})^{2008}+(1+x+\sqrt{x^{2}-1})^{2008}>(1+x+\sqrt{x^{2}-1})^{2008}>(3+\sqrt{3})^{2008}>2^{2009}$

Phương trình vô nghiệm

 

Vậy : Phương trình có nghiệm nguyên dương $x=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 07-07-2013 - 21:44

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#5 badboykmhd123456

badboykmhd123456

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 296 Bài viết

Đã gửi 07-07-2013 - 21:48

Cách của mình còn dài, không biết có cách nào ngắn hơn không

$\sqrt{a}+\sqrt{b}= \sqrt{1998}\Leftrightarrow (a+b)-1998=-2\sqrt{ab}$

$\Leftrightarrow (a+b)^2-2.1998(a+b)+1998^2=4ab$

$\Leftrightarrow (a-b)^2-2.1998(a-b)+1998^2=4.1998b$

$\Leftrightarrow (a-b-1998)^2=4.1998b$

Vì $VT$ chính phương nên $VP$ chũng chính phương, suy ra $b\vdots 222\Rightarrow b=222k(k\in \mathbb{N})\Rightarrow \sqrt{b}=\sqrt{222k}$

Để ý rằng $\sqrt{b}< \sqrt{1998}=3\sqrt{222}\Leftrightarrow k\leq 8$

mk nghĩ chỉ cần viết ngắn gọn thế này

$\sqrt{a}+\sqrt{b}=3\sqrt{222}$

Do VT là số vô tỷ nên VP là các căn thức dạng chứa $\sqrt{222}$

Đặt $\sqrt{a}=x\sqrt{222};\sqrt{b}=y\sqrt{222}$ với $x,y $ là STN

Vaf $x+y=3\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=2 & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} x=2 & \\ y=1 & \end{matrix}\right.$

còn bài 2

DK $x \geq 1$

$VT \geq 2\sqrt{(x+1-\sqrt{x^2-1})^{2008}(x+1+\sqrt{x^2-1})^{2008}} = 2\sqrt{(2x+2)^{2008}}\geq 2\sqrt{4^{2008}}=VP$

$\Rightarrow VT=VP\Leftrightarrow x=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi badboykmhd123456: 07-07-2013 - 21:51





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh