Tìm nghiệm nguyên dương
1.$\sqrt{a}+\sqrt{b}= \sqrt{1998}$
2.$(1+x-\sqrt{x^{2}-1})^{2008}+(1+x+\sqrt{x^{2}-1})^{2008}= 2^{2009}$
Tìm nghiệm nguyên dương
1.$\sqrt{a}+\sqrt{b}= \sqrt{1998}$
2.$(1+x-\sqrt{x^{2}-1})^{2008}+(1+x+\sqrt{x^{2}-1})^{2008}= 2^{2009}$
2.$(1+x-\sqrt{x^{2}-1})^{2008}+(1+x+\sqrt{x^{2}-1})^{2008}= 2^{2009}$
ĐK : $ x \geqslant 1$
Nhận thấy $x=1$ là nghiệm của phương trình đã cho
Với $x=2$ phương trình đã cho vô nghiệm
Với $x>2, x \in N$ ta có
$(1+x-\sqrt{x^2-1})^{2008}> 1^{2008}=1$
Và $(1+x+\sqrt{x^2-1})^{2008} \geqslant (1+3+\sqrt{3^2-1})^{2008}=(4+2\sqrt{2})^{2008}> 2^{2009}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=1$
Tìm nghiệm nguyên dương
1.$\sqrt{a}+\sqrt{b}= \sqrt{1998}$
Cách của mình còn dài, không biết có cách nào ngắn hơn không
$\sqrt{a}+\sqrt{b}= \sqrt{1998}\Leftrightarrow (a+b)-1998=-2\sqrt{ab}$
$\Leftrightarrow (a+b)^2-2.1998(a+b)+1998^2=4ab$
$\Leftrightarrow (a-b)^2-2.1998(a-b)+1998^2=4.1998b$
$\Leftrightarrow (a-b-1998)^2=4.1998b$
Vì $VT$ chính phương nên $VP$ chũng chính phương, suy ra $b\vdots 222\Rightarrow b=222k(k\in \mathbb{N})\Rightarrow \sqrt{b}=\sqrt{222k}$
Để ý rằng $\sqrt{b}< \sqrt{1998}=3\sqrt{222}\Leftrightarrow k\leq 8$
“Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại
ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot
“Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn
những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”
-Mark Twain
Huỳnh Tiến Phát ETP
$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39
Tìm nghiệm nguyên dương
1.$\sqrt{a}+\sqrt{b}= \sqrt{1998}$
2.$(1+x-\sqrt{x^{2}-1})^{2008}+(1+x+\sqrt{x^{2}-1})^{2008}= 2^{2009}$
1. Viết phương trình thành : $\sqrt{a}+\sqrt{b}=3\sqrt{222}$
Vì $a,b$ nguyên dương nên $\sqrt{a},\sqrt{b}$ phải là các tích chứa căn thức $\sqrt{222}$
Đặt $\sqrt{a}=m\sqrt{222};\sqrt{b}=n\sqrt{222}$ ($m,n\in Z^{+}$ )
$\Rightarrow (m+n)\sqrt{222}=3\sqrt{222}\Rightarrow m+n=3$
$\Rightarrow (m;n)=(2;1);(2;1)$
Khi đó tìm được $(a;b)=(888;222);(222;888)$
2. Vì x nguyên dương nên xét các trường hợp
$(1+x-\sqrt{x^{2}-1})^{2008}+(1+x+\sqrt{x^{2}-1})^{2008}=(3-\sqrt{3})^{2}+(3+\sqrt{3})^{2008}>(3+\sqrt{3})^{2008}>4^{2008}=2^{4016}>2^{2009}$
Phương trình vô nghiệm
$(1+x-\sqrt{x^{2}-1})^{2008}+(1+x+\sqrt{x^{2}-1})^{2008}>(1+x+\sqrt{x^{2}-1})^{2008}>(3+\sqrt{3})^{2008}>2^{2009}$
Phương trình vô nghiệm
Vậy : Phương trình có nghiệm nguyên dương $x=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 07-07-2013 - 21:44
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
Cách của mình còn dài, không biết có cách nào ngắn hơn không
$\sqrt{a}+\sqrt{b}= \sqrt{1998}\Leftrightarrow (a+b)-1998=-2\sqrt{ab}$
$\Leftrightarrow (a+b)^2-2.1998(a+b)+1998^2=4ab$
$\Leftrightarrow (a-b)^2-2.1998(a-b)+1998^2=4.1998b$
$\Leftrightarrow (a-b-1998)^2=4.1998b$
Vì $VT$ chính phương nên $VP$ chũng chính phương, suy ra $b\vdots 222\Rightarrow b=222k(k\in \mathbb{N})\Rightarrow \sqrt{b}=\sqrt{222k}$
Để ý rằng $\sqrt{b}< \sqrt{1998}=3\sqrt{222}\Leftrightarrow k\leq 8$
mk nghĩ chỉ cần viết ngắn gọn thế này
$\sqrt{a}+\sqrt{b}=3\sqrt{222}$
Do VT là số vô tỷ nên VP là các căn thức dạng chứa $\sqrt{222}$
Đặt $\sqrt{a}=x\sqrt{222};\sqrt{b}=y\sqrt{222}$ với $x,y $ là STN
Vaf $x+y=3\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=2 & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} x=2 & \\ y=1 & \end{matrix}\right.$
còn bài 2
DK $x \geq 1$
$VT \geq 2\sqrt{(x+1-\sqrt{x^2-1})^{2008}(x+1+\sqrt{x^2-1})^{2008}} = 2\sqrt{(2x+2)^{2008}}\geq 2\sqrt{4^{2008}}=VP$
$\Rightarrow VT=VP\Leftrightarrow x=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi badboykmhd123456: 07-07-2013 - 21:51
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh