Chủ đề này có 11 trả lời

[THYH]

Câu 1:

Cho hai đa thức $\mathit{P(x)} = x^{4}+ ax^{2}+1$, $\mathit{Q(x)=x^{3}+ax+1}$. Hãy xác đinh giá trị của $\mathit{a}$ để $\mathit{P(x)}$ và $\mathit{Q(x)}$ có nghiệm chung.

Câu 2:

Giải phương trình :$\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{2-x^{2}}}=2$

Câu 3: Tìm nghiệm dương $\mathit{(x,y,z)}$ của hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=12 & & \\ x+2y+3z=3& & \end{matrix}\right.$

Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 

$$A=(2x-x^{2})(y-2y^{2}), với 0\leq x\leq 2$ , 0\leq y\leq \frac{1}{2}$$

Câu 5: Chứng minh rằng :$$\frac{x^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}}{z+x}\geq \frac{x+y+z}{2} với x,y,z>0$$

Câu 6: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, $M$ là điểm nằm trên cạnh $BC$. Chứng minh rằng :$MB^{2}+MC^{2}=2MA^{2}$

Câu 7: Cho tam giac $ABC$ có $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$. Chứng minh rằng :

1. $sin\frac{A}{2}\leq \frac{a}{b+c}$

 

2. $sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\leq \frac{1}{8}$

 

 

 

---Hết---

 

BBT xin trân trọng cảm ơn bạn Phạm Trần Đăng Khoa đã cung cấp cho chúng tôi đề thi này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi THYH: 08-07-2013 - 09:35

[etucgnaohtn]

 

Câu 3: Tìm nghiệm dương $\mathit{(x,y,z)}$ của hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=12 & & \\ x+2y+3z=3& & \end{matrix}\right.$

Em xin chém câu dễ nhất

Nhân vế theo vế 2 pt của hệ ta được :$(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z})(x+2y+3z)=36$

Mặt khác theo bđt Bunyacopski $(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z})(x+2y+3z)\geq (\sqrt{\frac{1}{x}.x}+\sqrt{\frac{2}{y}.2y}+\sqrt{\frac{3}{z}.3z})^2=36$

Dấu $"="$ $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 07-07-2013 - 21:41

[Ha Manh Huu]

câu 5 áp dụng bđt CS ta có $VT\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{2(x+y+z)}= \frac{x+y+z}{2}$

[Best Friend]

Câu 6: Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ , và $M$ là trung điểm $BC$ $\Rightarrow \Delta ABM,\Delta ACM$ vuông cân $\Rightarrow AM=BM=CM\Rightarrow 2AM^{2}=BM^{2}+CM^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Best Friend: 07-07-2013 - 17:25

[BlackSelena]

Đề này các bạn dưới đó ăn ngon chứ ?
Câu 6:

Từ $M$ kẻ $ME, MF$ lần lượt vuông góc với $AB, AC$ thì dễ thấy các tam giác $BEM$ và $CEF$ vuông cân. Tức:
$MB^2 = 2ME^2 ; MC^2  = 2MF^2$
Nhưng nhận thấy $AEMF$ là hình chữ nhật nên $2ME^2 + 2MF^2 = 2MA^2$. 

Tóm lại ta có đpcm

Câu 7:

a, Kẻ phân giác $AD$, Hạ $BK$ vuông góc với $AD$, khi đó $\sin \dfrac{A}{2} = \dfrac{BK}{BA} \leq \dfrac{BD}{BA} = \dfrac{DC}{CA} = \dfrac{BD+DC}{BA+CA} = \dfrac{a}{b+c}$

b, Áp dụng kết quả trên thì ta cần chỉ ra $\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \leq \dfrac{1}{8}$

Theo bất đẳng thức $AM-GM$ thì $ a+b \geq 2\sqrt{ab} ; b+c \geq 2\sqrt{bc} ; c+a \geq 2\sqrt{ac}$ nên ta có đpcm!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 07-07-2013 - 17:23

[Ha Manh Huu]

câu 4 ta có A lớn nhất khi $2x-x^{2};y-2y^{2}$ lớn nhất

ta có $x(2-x) \leq \frac{(x+2-x)^{2}}{4}=1$ dấu = khi x=1

$y(1-2y)=\frac{1}{2}2y(1-2y) \leq \frac{1}{2} \frac{(2y+1-2y)^{2}}{4}= \frac{1}{8}$ dấu = khi y=$\frac{1}{4}$

suy ra A max = $\frac{1}{8}$

[Oral1020]

Đặt $\sqrt{2-x^2}=y$,ta có:

$x+y=2xy$ và $x^2+y^2=2$

Do $x^2+y^2=2$

$\Longrightarrow (x+y)^2-2xy=2$

$\Longleftrightarrow (x+y)^2-(x+y)=2$

Tới đây là phương trình bậc 2 ẩn $x+y$.

...

Chắc kiểu này thì về quê thi quá!! (Quê mình ở Trà Vinh )

[phatthemkem]

 

Câu 1:

Cho hai đa thức $\mathit{P(x)} = x^{4}+ ax^{2}+1$, $\mathit{Q(x)=x^{3}+ax+1}$. Hãy xác đinh giá trị của $\mathit{a}$ để $\mathit{P(x)}$ và $\mathit{Q(x)}$ có nghiệm chung.

 

Gọi $x_{0}$ là nghiệm chung của hai pt, ta có hệ

$\left\{\begin{matrix} x_{0}^{4}+ ax_{0}^{2}+1=0\\ x_{0}^{3}+ax_{0}+1=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow x(x-1)(x^2+a)=0$

$CONTINUE...$

[NguyenThuAn98]

Em xin chém câu dễ nhất

Nhân vế theo vế 2 pt của hệ ta được :$(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z})(x+2y+3z)=36$

Mặt khác theo bđt Bunyacopski $(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z})(x+2y+3z)\geq (\sqrt{\frac{1}{x}.x}+\sqrt{\frac{2}{y}.2y}+\sqrt{\frac{3}{z}.3z})^2=36$

Dấu $"="$ $\Leftrightarrow x=1;y=\frac{1}{2};z=\frac{1}{3}$

Mình nghĩ dấu = của bạn sai rồi. Là x=y=z=1/2

 

 mới đúng 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenThuAn98: 07-07-2013 - 21:11

[inazumaeleven5]

câu 5 áp dụng bđt CS ta có $VT\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{2(x+y+z)}= \frac{x+y+z}{2}$

áp dụng sao thế anh giải thích rõ được 0  

[yeutoan2604]

áp dụng sao thế anh giải thích rõ được 0  

Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có $(x+y+y+z+z+x)(\frac{x^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}}{y+x}+\frac{z^{2}}{z+x})\geq (x+y+z)^{2}\Leftrightarrow 2(x+y+z)(\frac{x^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}}{y+x}+\frac{z^{2}}{z+x})\geq (x+y+z)^{2}\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}}{y+x}+\frac{z^{2}}{z+x}\geq \frac{x+y+z}{2}$

[toanc2tb]

áp dụng sao thế anh giải thích rõ được 0  

 

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ấy bạn!(Hay còn gọi là B.C.S)