Chủ đề này có 5 trả lời

[airisuchan]

Giả sử $a,b,c > 0,abc = 1$. Chứng minh các bất đẳng thức sau sử dụng bổ đề (đã c/m được):

$\frac{1}{x^{2} + x + 1} + \frac{1}{y^{2} + y + 1} + \frac{1}{z^{2} + z + 1} \geq 1 \forall x,y,z > 0, xyz = 1$.

 

a. $\sum \frac{a + 3}{(a + 1)^{2}} \geq 3$

 

b. $\sum \frac{1}{(a + 1)^{3}} \geq \frac{3}{8}$

 

c. $\sum (\frac{a}{a^{3}+1})^{5} \leq \frac{3}{2^{5}}$

 

d. $\sum \frac{1}{a^{2}-a+1} \leq 3$

 

e. $\sum \frac{a}{a^{2}+3} \leq \frac{3}{4}$

 

f. $\sum \frac{1}{\sqrt{2a^{2}+6a+1}} \geq 1$

 

g. $\sum \frac{a}{a^{2}+a+1} \leq \sum \frac{1}{a+2}$

 

h. $\sum \sqrt{\frac{2}{a+1}} \leq 3$

 

Hơi nhiều bài (căn bản tại mình yếu BĐT :">). Hi vọng các bạn sẽ nhiệt tình tham gia. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi airisuchan: 08-07-2013 - 10:01

[Ha Manh Huu]

câu 1 http://diendantoanho...-3/#entry433683

câu 4 $\frac{4}{3}-\frac{1}{a^{2}-a+1}= \frac{(2a-1)^{2}}{3(a^{2}-a+1)}$

bđt phải CM tương đương với $\sum \frac{(2a-1)^{2}}{3(a^{2}-a+1)}\geq 1$

áp dụng bđt CS ta có $\sum \frac{(2a-1)^{2}}{3(a^{2}-a+1)}\geq \frac{(2a+2b+2c-3)^{2}}{3(\sum a^{2}-\sum a+3)}$

bđt phải Cm tương đương với

$(a+b+c)^{2}+6(ab+bc+ca)\geq 9(a+b+c)$

đặt $\sqrt{\frac{a+b+c}{3}}=a$

ta có $(ab+bc+ac)^{2}\geq 3abc(a+b+c)\Rightarrow ab+bc+ca\geq \sqrt{3abc(a+b+c)}=3a$

giờ ta phải CM

$9a^{4}+18a\geq 27a^{2}\Leftrightarrow 9a(a^{3}-3a+2)$

ta lại có $a^{3}+1+1 \geq 3a $ nên bđt cuối cùng đúng

ta có đpcm

[banhgaongonngon]

Câu b

Ta có bất đẳng thức quen thuộc

$\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{1}{(1+d)^{2}}\geq 1$ với $a,b,c,d>0, abcd=1$

Cho $d=1$ ta được

$\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}\geq \frac{3}{4}$       $(1)$

Theo bất đẳng thức $Holder$ thì

$3\left ( \sum_{a,b,c}^{ }\frac{1}{(1+a)^{3}} \right )^{2}\geq \left ( \sum_{a,b,c}^{ } \frac{1}{(1+a)^{2}} \right )^{3}$     $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có

$\sum_{a,b,c}^{ }\frac{1}{(1+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}$

[AM GM]

 h )  a = $a=\frac{y}{z} ;b= \frac{z}{x} ;c= \frac{x}{y}$

BDT $\Leftrightarrow \sqrt{\frac{2z}{y+z}}+\sqrt{\frac{2y}{x+y}}+\sqrt{\frac{2x}{z+x}}\leq 3$(BDT quen thuoc)

[Kudo Shinichi]

Giả sử $a,b,c > 0,abc = 1$. Chứng minh các bất đẳng thức sau sử dụng bổ đề (đã c/m được):

$\frac{1}{x^{2} + x + 1} + \frac{1}{y^{2} + y + 1} + \frac{1}{z^{2} + z + 1} \geq 1 \forall x,y,z > 0, xyz = 1$.

 

 

d. $\sum \frac{1}{a^{2}-a+1} \leq 3$

 

Giải: 

Áp dụng bổ đề với $x=\frac{1}{a^2} ; y=\frac{1}{b^2} ;z=\frac{1}{c^2}$ ta có:

$\sum \frac{1}{\frac{1}{a^{4}}+\frac{1}{a^2}+1}\geq 1 $

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{4}}{a^{4}+a^2+1}\geq 1$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{4}}{a^{4}+a^2+1}-1\geq 0 $

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{4}}{a^{4}+a^2+1}-1 + \sum \frac{a^2+1}{a^{4}+a^2+1}\geq \sum \frac{a^2+1}{a^{4}+a^2+1} $

$\Leftrightarrow 2\geq \sum \frac{a^2+1}{a^{4}+a^2+1}$

$\Leftrightarrow 4\geq \sum \frac{2(a^2+1)}{a^{4}+a^2+1} $

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^{2}+a+1}+\sum \frac{1}{a^{2}-a+1}\leq 4 $

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^{2}-a+1}\leq 3$

$\Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kudo Shinichi: 08-07-2013 - 21:07

[Kudo Shinichi]

Giả sử $a,b,c > 0,abc = 1$. Chứng minh các bất đẳng thức sau sử dụng bổ đề (đã c/m được):

$\frac{1}{x^{2} + x + 1} + \frac{1}{y^{2} + y + 1} + \frac{1}{z^{2} + z + 1} \geq 1 \forall x,y,z > 0, xyz = 1$.

 

 

f. $\sum \frac{1}{\sqrt{2a^{2}+6a+1}} \geq 1$