$\boxed{\text{ Bài toán 1:}}$ Tính các tổng với $n \in N^*$
a, $A= 1+2+3+4+…+(n-1) + n$
b, $B= 1^2 + 2^2 + 3^2 + …+ (n-1)^2 + n^2$
c, $C= 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + …+ (n-1)^3 + n^3$
Phương pháp chung để giải các Bài $1,2,3$ là đặt mổi số $k^m$ ($m=1,2,3$) dưới dạng $k^m = b_{k+1} -b_k.$ Vậy tìm $b_k$ như thế nào? Có rất nhiều cách để tìm $b_k$ nhưng cách tốt nhất là chọn $b_k$ là một đa thức bậc $(m+1)$ theo biến $k$, hay viết lại theo biến $x$ là $x^m = P(x+1) - P(x)$ , $\forall x \in \mathbb{R}$
-------------------------------------------
1. Ta tìm đa thức bậc $2$: $P(x) = ax^2 + bx + c$ sao cho: $x= P(x+1) - P(x)$ $(1)$
$\Longleftrightarrow$ $x=a(x+1)^2 + b(x+1) + c -ax^2 - bx - c = a(2x+1) + b = 2ax + a + b$
$\Longrightarrow$ $x=2ax+a+b$
$\Longleftrightarrow$ $0 = (2a-1)x + a+ b$
$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}2a-1=0& \\ a+b=0& \end{matrix}\right.$
$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}& \\ b=\dfrac{-1}{2}&\end{matrix}\right.$
Do đó: $P(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}x$
Từ $(1)$ $\Longrightarrow$ $1=P(2) - P$
$2=P(3) - P$
$3=P(4) - P$
$. . . $
$\Longrightarrow $ $A=1+2+3+4+...+n = P(n+1) - P = \dfrac{1}{2}(n+1)^2 + \dfrac{1}{2} (n+1) = \dfrac{1}{2}n(n+1)$
#Chú ý:Ta cũng có thể giải một cách đơn giãn như sau:
$\left\{\begin{matrix}A=1+2+3+...+n& \\ A= n + (n-1) + ...+1& \end{matrix}\right.$
$\Longrightarrow$ $2A = \underbrace{(n+1) + (n+1) + (n+1) +... + (n+1)}_{n số hạng} = n (n+1)$
$\Longrightarrow$ $A= \dfrac{1}{2}n(n+1)$
-------------------------------------------
2, Ta tìm đa thức bậc $3$ : $P(x) = ax^3 + bc^+ cx^3 +d$ sao cho $x^2 = P(x+1) - P(x)$ $(2)$
$\Longleftrightarrow$ $x^2 = a(x+1)^3 + b(x+1)^2 + c(x+1) + d - ax^3 -bx^2 -cx -d $
$=a(3x^2 + 3x +1) + b(2x+1) +c$
$=3ax^3 + (3a+2b)x + a+b+c$
$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}3a=1& & \\ 3a+2b=0& & \\ a+b+c=0& & \end{matrix}\right.$
$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}a= \dfrac{1}{3}& & \\ b = \dfrac{-1}{2}& & \\ c=\dfrac{1}{6}& & \end{matrix}\right.$
Vậy $P(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{6}x$
Từ $(2)$ $\Longrightarrow$ $1^2=P(2) - P(1)$
$2^2=P(3) - P(2)$
$3^2=P(4) - P(3)$
$. . . $
$(n-1)^2= P(n) - P(n-1)$
$n^2 = P(n+1) - P(n)$
$\Longrightarrow$ $B = 1^2 + 2^2 +...+ n^2 = P(n+1) - P(1) $
$=(n+1)^3 - (n+1)^2 + (n+1)$
$= (n+1) \left[2(n+1) - 3 (n+1) +1 \right ]$
$=(n+1)(2x^2 +n) = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
-------------------------------------------
Ta tìm đa thức bặc $4$: $P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ sao cho $x^3 = P(x+1) - P(x)$ , $\forall x \in \mathbb{R}$ $(3)$
$\Longleftrightarrow$ $x^3 = a(x+1)^4 + b(x+1)^3 + c(x+1)^2 + d(x+1) + e -ax^4 -bx^3 - cx^2 -dx -e$
$=a(4x^3+6x^2 + 4x+1) + b(3x^2 + 3x +1) +c(2x+1) +d$
$=4ax^3 + (6a+3b)x^2 + (4a+3b+2c)x + a+b+c+d$
$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}4a=1& & & \\ 6a+3b=0& & & \\ 4a+3b+2c=0& & & \\ a+b+c+d=0& & & \end{matrix}\right.$
$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}a=\dfrac{1}{4}& & & \\ b=\dfrac{-1}{2}& & & \\ c=\dfrac{1}{4}& & & \\ d=0& & & \end{matrix}\right.$
Do đó $P(x) = \dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{1}{2}x^3 + \dfrac{1}{4}x^2= \dfrac{1}{4}x^2(x-1)^2$
Từ $(3)$ $\Longrightarrow$ $1^3=P(2) - P(1)$
$2^3=P(3) - P(2)$
$3^3=P(4) - P(3)$
$. . . $
$n^3 = P(n+1) - P(n)$
Vậy $C=1^3+2^3 +3^3 + ... + n^3 = P(n+1) -P(1) = \dfrac{1}{4}(n+1)^2n^2$
#Chú ý: Ta có: $C = A^2$ hay $1^3+2^3+...+n^3 = (1+2+3+...+n)^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tienanh tx: 10-07-2013 - 13:39