Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * - 14 Bình chọn

[TOPIC] Bài toán tính tổng các dãy số có quy luật


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 107 trả lời

#1 Tienanh tx

Tienanh tx

    $\Omega \textbf{Bùi Tiến Anh} \Omega$

  • Thành viên
  • 360 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathfrak{Bình Phước}$
  • Sở thích:$\mathfrak{Geometry}$

Đã gửi 09-07-2013 - 21:35

TOPIC VỀ BÀI CÁC TOÁN TÍNH TỔNG

 

1, Lời nói đầu

Trong quá trình làm việc với các dạng toán, đặc biệt là các dạng toán liên quan tới yếu tố tính tổng, mình nhận thấy mổi một bài toán tính tổng đều có một vẻ đẹp rất là riêng. Nay mình lập TOPIC này để tổng hợp các bài toán tính tổng nhằm phục vụ cho các bạn ôn thi HSG 8,9, thi tuyển sinh vào trường Chuyên và Năng khiếu và hơn hết là dành cho các bạn có niềm đam mê với môn Toán

 

2, Những điều cần lưu ý khi post bài

  + Khi post bài nhớ đánh số thứ tự

  + Gõ công thức toán bằng $Latex$

  + Tránh hiện tượng Spam gây loãng TOPIC

  + Các bạn nên tìm thêm công thức tỗng quát để tăng sự  (Không bắt buộc)

  + Nên giãi bằng nhiều cách cho một bài toán (Không bắt buộc)

  + Ghi rõ các bước làm hoặc có thể tóm gọn cách làm 

P/s: Để tăng tính thẩm mĩ các bạn nên để tiêu đề trong CODE sau cho đẹp 

$\boxed{\text{ Bài toán :}}$ Nội dung bài toán

---------------------------------------------

Mình bắt đầu TOPIC với một bài toán đơn giãn nhé ^^

 

 

$\boxed{\text{ Bài toán 1:}}$ Tính các tổng với $n \in N^*$

a, $A= 1+2+3+4+…+(n-1) + n$

b, $B= 1^2 + 2^2 + 3^2 + …+ (n-1)^2 + n^2$

c, $C= 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + …+ (n-1)^3 + n^3$

d, $D= 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ (n-2)(n-1) + (n-1)n$

e, $E= 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + (n-3)(n-2)(n-1) + (n-2)(n-1)n$

f, $F= \dfrac{1}{1.2} + \dfrac{1}{2.3} + … + \dfrac{1}{(n-1)n}$

g, $G=\dfrac{1}{1.2.3} + \dfrac{1}{2.3.4} + \dfrac{1}{3.4.5} + … + \dfrac{1}{(n-2)(n-1)n}$

h, $H=2+4+6+...+(2n-4) + (2n-2) + 2n$

i, $I= 1+3+5+...+(2n-3) + (2n-1)$ với ($n \ge 2$)

 

 

MONG NHẬN ĐƯỢC SỰ ỦNG HỘ NHIỆT TÌNH  CỦA MỌI NGƯỜI


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tienanh tx: 11-07-2013 - 16:39

$\cdot$ $( - 1) = {( - 1)^5} = {( - 1)^{2.\frac{5}{2}}} = {\left[ {{{( - 1)}^2}} \right]^{\frac{5}{2}}} = {1^{\frac{5}{2}}} =\sqrt{1}= 1$

$\cdot$ $\dfrac{0}{0}=\dfrac{100-100}{100-100}=\dfrac{10.10-10.10}{10.10-10.10}=\dfrac{10^2-10^2}{10(10-10)}=\dfrac{(10-10)(10+10)}{10(10-10)}=\dfrac{20}{10}=2$

$\cdot$ $\pi\approx 2^{5^{0,4}}-0,6-\left(\frac{0,3^{9}}{7}\right)^{0,8^{0,1}}$

$\cdot$ $ - 2 = \sqrt[3]{{ - 8}} = {( - 8)^{\frac{1}{3}}} = {( - 8)^{\frac{2}{6}}} = {\left[ {{{( - 8)}^2}} \right]^{\frac{1}{6}}} = {64^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{{64}} = 2$

 

 

 

 


#2 Christian Goldbach

Christian Goldbach

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 351 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên đại học Sư Phạm Hà Nội
  • Sở thích:nhiều lắm!!!

Đã gửi 09-07-2013 - 22:08

$\boxed{\text{ Bài toán 1 :}}$

Chém một chút đã

a)$1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

b)$begin{matrix} 1^3=1\\ 2^3=(1+1)^3=1^3+3.1^2.1+3.1.1^2+1^3\\ 3^3=(2+1)^3=2^3+3.2^2.1+3.2.1^3+1^3\\ ....\\ (n+1)^3=n^3+3.n^2.1+3.n.1^2+1^3\end{matrix} \Leftrightarrow 1^3+2^3+3^3+...+n^3+(n+1)^3=(1^3+2^3+3^3+...+n^3)+3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+(n+1)\Leftrightarrow 3(1^2+2^2+...+n^2)=(n+1)^3-3(1+2+...+n)-(n+1)=\frac{(n+1)n(2n+1)}{2}\Leftrightarrow 1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

c) Ta có thể chứng minh bằng pp quy nạp 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Christian Goldbach: 09-07-2013 - 22:12

Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.

 


#3 phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tường THPT số 1 Đức Phổ, huyện Đức Phổ, tỉnh Quảng Ngãi
  • Sở thích:Xem người ta giải toán rồi bắt chước làm theo.

Đã gửi 09-07-2013 - 22:15

d, $D= 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ (n-2)(n-1) + (n-1)n$

Ta có $D=1(1+1)+2(1+2)+3(1+3)+..+(n-1)(n-1+1)$

$=1+1^2+2+2^2+3+3^2+...+(n-1)^2+n-1$

$=(1+2+3+...+n)+\left [ 1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2 \right ]$

CONTINUE...


  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39


#4 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 09-07-2013 - 22:20

 

 

$\boxed{\text{ Bài toán 1:}}$ Tính các tổng với $n \in N^*$

 

d, $D= 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ (n-2)(n-1) + (n-1)n$

e, $E= 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + (n-3)(n-2)(n-1) + (n-2)(n-1)n$

f, $F= \dfrac{1}{1.2} + \dfrac{1}{2.3} + … + \dfrac{1}{(n-1)n}$

g, $G=\dfrac{1}{1.2.3} + \dfrac{1}{2.3.4} + \dfrac{1}{3.4.5} + … + \dfrac{1}{(n-2)(n-1)n}$

h, $H=2+4+6+...+(2n-4) + (2n-2) + 2n$

i, $I= 1+3+5+...+(2n-3) + (2n-1)$ với ($n \ge 2$)

 

 

MONG NHẬN ĐƯỢC SỰ ỦNG HỘ NHIỆT TÌNH  CỦA MỌI NGƯỜI

 

d) Ta có $3D=1.2.(3)+2.3.(4-1)+...+(n-2)(n-1)(n-(n-3))+(n-1)n(n+1-(n+2))=n(n-1)(n+1)$

e) Câu này tương tự 


:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#5 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 09-07-2013 - 22:46

TIÊU ĐỀ : "TOPIC VỀ BÀI CÁC TOÁN TÍNH TỔNG" HAY "TOPIC VỀ CÁC BÀI TOÁN TÍNH TỔNG VẬY" ? :mellow:  

f, $F= \dfrac{1}{1.2} + \dfrac{1}{2.3} + … + \dfrac{1}{(n-1)n}$

g, $G=\dfrac{1}{1.2.3} + \dfrac{1}{2.3.4} + \dfrac{1}{3.4.5} + … + \dfrac{1}{(n-2)(n-1)n}$

Câu f :

Ta có nhận xét : 

$\frac{1}{a(a+1)}=\frac{(a+1)-a}{a(a+1)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}$

Áp dụng nhận xét trên thì :

$F=(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+...+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})=1-\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n}$

Câu g :

Ta có nhận xét : 

$\frac{2}{(a-1)a(a+1)}=\frac{1}{a(a-1)}-\frac{1}{a(a+1)}$

Áp dụng nhận xét trên thì :

$2G=(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3})+(\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4})+...+(\frac{1}{(n-2)(n-1)}-\frac{1}{(n-1)n})=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{n(n-1)}=\frac{n^{2}-n-2}{2n(n-1)}$

$\Rightarrow G=\frac{n^{2}-n-2}{4n(n-1)}$

 

Mới bài 1 thôi đã khiếp thế à, cho mình xin phép tiếp bài 2 nhé !

Bài 2 : Tính $A=\frac{4.1}{4.1^{4}+1}+\frac{4.2}{4.2^{4}+1}+\frac{4.3}{4.3^{4}+1}...+\frac{4n}{4n^{4}+1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 09-07-2013 - 23:01

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#6 hieuvipntp

hieuvipntp

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:internet,toán

Đã gửi 10-07-2013 - 11:35

TIÊU ĐỀ : "TOPIC VỀ BÀI CÁC TOÁN TÍNH TỔNG" HAY "TOPIC VỀ CÁC BÀI TOÁN TÍNH TỔNG VẬY" ? :mellow:  

Câu f :

Ta có nhận xét : 

$\frac{1}{a(a+1)}=\frac{(a+1)-a}{a(a+1)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}$

Áp dụng nhận xét trên thì :

$F=(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+...+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})=1-\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n}$

Câu g :

Ta có nhận xét : 

$\frac{2}{(a-1)a(a+1)}=\frac{1}{a(a-1)}-\frac{1}{a(a+1)}$

Áp dụng nhận xét trên thì :

$2G=(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3})+(\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4})+...+(\frac{1}{(n-2)(n-1)}-\frac{1}{(n-1)n})=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{n(n-1)}=\frac{n^{2}-n-2}{2n(n-1)}$

$\Rightarrow G=\frac{n^{2}-n-2}{4n(n-1)}$

 

Mới bài 1 thôi đã khiếp thế à, cho mình xin phép tiếp bài 2 nhé !

Bài 2 : Tính $A=\frac{4.1}{4.1^{4}+1}+\frac{4.2}{4.2^{4}+1}+\frac{4.3}{4.3^{4}+1}...+\frac{4n}{4n^{4}+1}$

đây nè juliel

dạng tổng quát:

$\frac{4k}{4k^{4}+1}=\frac{4k}{(2k^{2}+1)^{2}-4k^{2}}=\frac{4k}{(2k^{2}+1-2k)(2k^{2}+2k+1)}=\frac{1}{2k^{2}-2k+1}-\frac{1}{2k^{2}+2k+1}$

do đó ta áp dụng dc:

$\frac{4.1}{4.1^{4}+1}+......+\frac{4n}{4n^{4}+1}=1-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{13}+.........+\frac{1}{2n^{2}-2n+1}-\frac{1}{2n^{2}+2n+1}$

tới đây thì dễ dàng quá rồi



#7 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 10-07-2013 - 11:58

Mình xin bổ sung cho topic thêm chất lượng

Một số dạng toán tính tổng thường dùng( cái nào thắc mắc bảo mình mình sẽ chứng minh)

 

$\boxed{1}$    $\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

 

$\boxed{2}$ 

 

Với mọi số tự nhiên $n$ khác 0, ta có

$A=1+2+3+...+(n-1)+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

$\boxed{3}$

Với mọi số tự nhiên $n$ khác 0, ta có

$A=1+3+5+7+...+(2n-1)=n^2$

 

$\boxed{4}$

 

Với mọi số tự nhiên $n$ khác 0, ta có

 

$A=2+4+6+8+...+2n-1=n(n+1)$

$\boxed{5}$

Với mọi số tự nhiên $n$ khác 0, ta có

 

$A=-1+3-5+7-9+(-1)^{n}(2n-1)=(-1)^n.n$

 

$\boxed{6}$

 

$S=a^0+a^1+a^2+...+a^n=\dfrac{a^{n+1}-1}{a-1}$ ($a$ khác 1,0)

 

$\boxed{7}$

 

Với mọi số tự nhiên $n$ khác 0, ta có

$B=1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$

 

$\boxed{8}$

 

Với mọi số tự nhiên $n$ khác 0, ta có

$E=1^2+2^2+3^2+....+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

 

$\boxed{9}$

Với mọi số tự nhiên $n$ khác 0, ta có

 

$P=1.2.3+2.3.4+3.5.6+...+n(n+1)(n+2)=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$$\

Một số bài tập đề nghị 

 

a) Tính tổng $A=1.50+2.49+3.48+...+49.2+50.1$

 

b) Chứng minh $2A+3$ là luỹ thừa của $3$ với $A=3+3^2+3^3+...+3^{100}$

 

c) $K=2+5+8+11+14+17+20+23+26+29+32+35$

 

d) Tìm $x$ biết $(4+2^2+2^3+2^4+...+2^{20}).x=2^{22}-2^{21}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 10-07-2013 - 12:04

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#8 Tienanh tx

Tienanh tx

    $\Omega \textbf{Bùi Tiến Anh} \Omega$

  • Thành viên
  • 360 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathfrak{Bình Phước}$
  • Sở thích:$\mathfrak{Geometry}$

Đã gửi 10-07-2013 - 13:37



 

 

 

 

$\boxed{\text{ Bài toán 1:}}$ Tính các tổng với $n \in N^*$

a, $A= 1+2+3+4+…+(n-1) + n$

b, $B= 1^2 + 2^2 + 3^2 + …+ (n-1)^2 + n^2$

c, $C= 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + …+ (n-1)^3 + n^3$

 

 

 

 

 

Phương pháp chung để giải các Bài $1,2,3$ là đặt mổi số $k^m$ ($m=1,2,3$) dưới dạng $k^m = b_{k+1} -b_k.$  Vậy tìm $b_k$ như thế nào? Có rất nhiều cách để tìm $b_k$ nhưng cách tốt nhất là chọn $b_k$ là một đa thức bậc $(m+1)$ theo biến $k$, hay viết lại theo biến $x$ là $x^m = P(x+1) - P(x)$ , $\forall x \in \mathbb{R}$

 

 

-------------------------------------------

 

 

1. Ta tìm đa thức bậc $2$:  $P(x) = ax^2 + bx + c$ sao cho:  $x= P(x+1) - P(x)$ $(1)$

$\Longleftrightarrow$ $x=a(x+1)^2 + b(x+1)  + c -ax^2 - bx - c = a(2x+1) + b = 2ax + a + b$

$\Longrightarrow$ $x=2ax+a+b$

$\Longleftrightarrow$ $0 = (2a-1)x + a+ b$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}2a-1=0& \\ a+b=0& \end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}& \\ b=\dfrac{-1}{2}&\end{matrix}\right.$

Do đó: $P(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}x$

Từ $(1)$ $\Longrightarrow$ $1=P(2) - P$

                     $2=P(3) - P$

                     $3=P(4) - P$

                               $. . . $

$\Longrightarrow $ $A=1+2+3+4+...+n = P(n+1) - P = \dfrac{1}{2}(n+1)^2 + \dfrac{1}{2} (n+1) = \dfrac{1}{2}n(n+1)$

#Chú ý:Ta cũng có thể giải một cách đơn giãn như sau: 

$\left\{\begin{matrix}A=1+2+3+...+n& \\ A= n + (n-1) + ...+1& \end{matrix}\right.$

$\Longrightarrow$ $2A =  \underbrace{(n+1) + (n+1) + (n+1) +... + (n+1)}_{n số hạng} = n (n+1)$

$\Longrightarrow$ $A= \dfrac{1}{2}n(n+1)$

 

 

-------------------------------------------

 

 

2, Ta tìm đa thức bậc $3$ : $P(x) = ax^3 + bc^+ cx^3 +d$ sao cho $x^2 = P(x+1) - P(x)$ $(2)$

$\Longleftrightarrow$ $x^2 = a(x+1)^3 + b(x+1)^2 + c(x+1) + d - ax^3 -bx^2 -cx -d $

               $=a(3x^2 + 3x +1) + b(2x+1) +c$

               $=3ax^3  + (3a+2b)x + a+b+c$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}3a=1&  & \\ 3a+2b=0&  & \\ a+b+c=0&  & \end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}a= \dfrac{1}{3}&  & \\ b = \dfrac{-1}{2}&  & \\ c=\dfrac{1}{6}&  & \end{matrix}\right.$

 

Vậy $P(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{6}x$

Từ $(2)$ $\Longrightarrow$ $1^2=P(2) - P(1)$

                     $2^2=P(3) - P(2)$

                     $3^2=P(4) - P(3)$

                               $. . . $

                     $(n-1)^2= P(n) - P(n-1)$

                     $n^2 = P(n+1) - P(n)$

$\Longrightarrow$ $B = 1^2 + 2^2 +...+ n^2 =  P(n+1) - P(1) $

                                                   $=(n+1)^3  - (n+1)^2 + (n+1)$

                                                   $= (n+1) \left[2(n+1) - 3 (n+1) +1 \right ]$

                                                   $=(n+1)(2x^2 +n) = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

 

 

-------------------------------------------

 

Ta tìm đa thức bặc $4$: $P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ sao cho $x^3 = P(x+1) - P(x)$ , $\forall x \in \mathbb{R}$ $(3)$

$\Longleftrightarrow$ $x^3 = a(x+1)^4 + b(x+1)^3 + c(x+1)^2 + d(x+1) + e -ax^4 -bx^3 - cx^2 -dx -e$

               $=a(4x^3+6x^2 + 4x+1) + b(3x^2 + 3x +1) +c(2x+1) +d$

               $=4ax^3 + (6a+3b)x^2 + (4a+3b+2c)x + a+b+c+d$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}4a=1&  &  & \\ 6a+3b=0&  &  & \\ 4a+3b+2c=0&  &  & \\ a+b+c+d=0&  &  & \end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}a=\dfrac{1}{4}&  &  & \\ b=\dfrac{-1}{2}&  &  & \\ c=\dfrac{1}{4}&  &  & \\ d=0&  &  & \end{matrix}\right.$

Do đó $P(x) = \dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{1}{2}x^3 + \dfrac{1}{4}x^2= \dfrac{1}{4}x^2(x-1)^2$

Từ $(3)$ $\Longrightarrow$ $1^3=P(2) - P(1)$

                     $2^3=P(3) - P(2)$

                     $3^3=P(4) - P(3)$

                               $. . . $

                     $n^3 = P(n+1) - P(n)$

                    

Vậy $C=1^3+2^3 +3^3 + ... + n^3 = P(n+1) -P(1) = \dfrac{1}{4}(n+1)^2n^2$

 

#Chú ý: Ta có: $C = A^2$ hay $1^3+2^3+...+n^3 = (1+2+3+...+n)^2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tienanh tx: 10-07-2013 - 13:39

$\cdot$ $( - 1) = {( - 1)^5} = {( - 1)^{2.\frac{5}{2}}} = {\left[ {{{( - 1)}^2}} \right]^{\frac{5}{2}}} = {1^{\frac{5}{2}}} =\sqrt{1}= 1$

$\cdot$ $\dfrac{0}{0}=\dfrac{100-100}{100-100}=\dfrac{10.10-10.10}{10.10-10.10}=\dfrac{10^2-10^2}{10(10-10)}=\dfrac{(10-10)(10+10)}{10(10-10)}=\dfrac{20}{10}=2$

$\cdot$ $\pi\approx 2^{5^{0,4}}-0,6-\left(\frac{0,3^{9}}{7}\right)^{0,8^{0,1}}$

$\cdot$ $ - 2 = \sqrt[3]{{ - 8}} = {( - 8)^{\frac{1}{3}}} = {( - 8)^{\frac{2}{6}}} = {\left[ {{{( - 8)}^2}} \right]^{\frac{1}{6}}} = {64^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{{64}} = 2$

 

 

 

 


#9 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 10-07-2013 - 15:07

Tiếp tục một số dạng tính tổng 

 

$\boxed{10}$   (thường sử dụng phương pháp khử liên tiếp)

 

$D=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$

 

$\boxed{10}$

 

$M=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

 

$\boxed{11}$

 

$P=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{(n+1)}}=\frac{\sqrt{n+1}-1}{\sqrt{n+1}}$

 

$\boxed{12}$

 

$Q=\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=n-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1}$

 

Bài tập đề nghị

a) Tìm $x$ biết $\frac{1}{5.8}+\frac{1}{11.14}+...+\frac{1}{x(x+3)}=\dfrac{101}{1540}$

 

b) Tính giá trị biểu thức $A=\dfrac{X}{Y}$ với $X=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+..+\dfrac{1}{95}+\dfrac{1}{97}+\dfrac{1}{99}$ và

 

$Y=\dfrac{1}{1.99}+\dfrac{1}{3.97}+\dfrac{1}{5.95}+...+\dfrac{1}{95.5}+\dfrac{1}{97.3}+\dfrac{1}{99.1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 10-07-2013 - 15:07

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#10 Tienanh tx

Tienanh tx

    $\Omega \textbf{Bùi Tiến Anh} \Omega$

  • Thành viên
  • 360 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathfrak{Bình Phước}$
  • Sở thích:$\mathfrak{Geometry}$

Đã gửi 10-07-2013 - 20:59

Bài tập đề nghị

a) Tìm $x$ biết $\frac{1}{5.8}+\frac{1}{11.14}+...+\frac{1}{x(x+3)}=\dfrac{101}{1540}$

Đề phãi thế này chứ nhỉ: Tìm $x$ biết $\frac{1}{5.8}+ \dfrac{1}{8.11} + \frac{1}{11.14}+...+\frac{1}{x(x+3)}=\dfrac{101}{1540}$

Lời giải:

 

$\oplus$ Ta có: $\frac{1}{5.8}+ \dfrac{1}{8.11} + \frac{1}{11.14}+...+\frac{1}{x(x+3)}=\dfrac{101}{1540}$

$\Longleftrightarrow$ $\frac{3}{5.8}+ \dfrac{3}{8.11} + \frac{3}{11.14}+...+\frac{3}{x(x+3)}=\dfrac{3.101}{1540}$

$\Longleftrightarrow$ $\left ( \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{8} \right) + \left ( \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{11} \right) + \left ( \dfrac{1}{11} - \dfrac{1}{14} \right) + ... + \left ( \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+3} \right) = \dfrac{303}{1540}$

$\Longleftrightarrow$ $ \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{x+3}=\dfrac{303}{1540}$

$\Longleftrightarrow$ $\dfrac{1}{x+3} = \dfrac{1}{308}$

$\Longrightarrow$ $x=305$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tienanh tx: 10-07-2013 - 23:03

$\cdot$ $( - 1) = {( - 1)^5} = {( - 1)^{2.\frac{5}{2}}} = {\left[ {{{( - 1)}^2}} \right]^{\frac{5}{2}}} = {1^{\frac{5}{2}}} =\sqrt{1}= 1$

$\cdot$ $\dfrac{0}{0}=\dfrac{100-100}{100-100}=\dfrac{10.10-10.10}{10.10-10.10}=\dfrac{10^2-10^2}{10(10-10)}=\dfrac{(10-10)(10+10)}{10(10-10)}=\dfrac{20}{10}=2$

$\cdot$ $\pi\approx 2^{5^{0,4}}-0,6-\left(\frac{0,3^{9}}{7}\right)^{0,8^{0,1}}$

$\cdot$ $ - 2 = \sqrt[3]{{ - 8}} = {( - 8)^{\frac{1}{3}}} = {( - 8)^{\frac{2}{6}}} = {\left[ {{{( - 8)}^2}} \right]^{\frac{1}{6}}} = {64^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{{64}} = 2$

 

 

 

 


#11 Tienanh tx

Tienanh tx

    $\Omega \textbf{Bùi Tiến Anh} \Omega$

  • Thành viên
  • 360 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathfrak{Bình Phước}$
  • Sở thích:$\mathfrak{Geometry}$

Đã gửi 10-07-2013 - 21:25

b) Chứng minh $2A+3$ là luỹ thừa của $3$ với $A=3+3^2+3^3+...+3^{100}$

$\oplus$ Ta có: $A=3+3^2+3^3+...+3^{100}$

$\Longleftrightarrow$ $3A = 3^2 + 3^3 + 3^4 + ... + 3^{101}$

$\oplus$ Ta có: $3A-A = (3^2 + 3^3 + 3^4 + ... + 3^{101}) - (3+3^2+3^3+...+3^{100})$

$\Longleftrightarrow$ $2A = 3^2 + 3^3 + 3^4 + ... + 3^{101} - 3-3^2-3^3-...-3^{100}$

$\Longleftrightarrow$ $2A = 3^{101}-3$

$\Longleftrightarrow$ $2A + 3 = 3^{101}$

$\Longrightarrow$ $Q.E.D$


$\cdot$ $( - 1) = {( - 1)^5} = {( - 1)^{2.\frac{5}{2}}} = {\left[ {{{( - 1)}^2}} \right]^{\frac{5}{2}}} = {1^{\frac{5}{2}}} =\sqrt{1}= 1$

$\cdot$ $\dfrac{0}{0}=\dfrac{100-100}{100-100}=\dfrac{10.10-10.10}{10.10-10.10}=\dfrac{10^2-10^2}{10(10-10)}=\dfrac{(10-10)(10+10)}{10(10-10)}=\dfrac{20}{10}=2$

$\cdot$ $\pi\approx 2^{5^{0,4}}-0,6-\left(\frac{0,3^{9}}{7}\right)^{0,8^{0,1}}$

$\cdot$ $ - 2 = \sqrt[3]{{ - 8}} = {( - 8)^{\frac{1}{3}}} = {( - 8)^{\frac{2}{6}}} = {\left[ {{{( - 8)}^2}} \right]^{\frac{1}{6}}} = {64^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{{64}} = 2$

 

 

 

 


#12 Tienanh tx

Tienanh tx

    $\Omega \textbf{Bùi Tiến Anh} \Omega$

  • Thành viên
  • 360 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathfrak{Bình Phước}$
  • Sở thích:$\mathfrak{Geometry}$

Đã gửi 10-07-2013 - 22:59

c) $K=2+5+8+11+14+17+20+23+26+29+32+35$

 

c, $\oplus$ Ta có: $\left\{\begin{matrix}K=2+5+8+11+14+17+20+23+26+29+32+35& \\ K=35 + 32+ 29+26+23+20+17+14+11+8+5+2& \end{matrix}\right.$

$\Longrightarrow$ $2K = (2+35) +(5+32) + (8+29) + ...+ (8+29) + (5+32) + (35+2) = \underbrace{37+37+37+...+37}_{12 số hạng}$

$\Longrightarrow$ $2K = 12.37 = 444$

$\Longrightarrow$ $K=222$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tienanh tx: 10-07-2013 - 23:02

$\cdot$ $( - 1) = {( - 1)^5} = {( - 1)^{2.\frac{5}{2}}} = {\left[ {{{( - 1)}^2}} \right]^{\frac{5}{2}}} = {1^{\frac{5}{2}}} =\sqrt{1}= 1$

$\cdot$ $\dfrac{0}{0}=\dfrac{100-100}{100-100}=\dfrac{10.10-10.10}{10.10-10.10}=\dfrac{10^2-10^2}{10(10-10)}=\dfrac{(10-10)(10+10)}{10(10-10)}=\dfrac{20}{10}=2$

$\cdot$ $\pi\approx 2^{5^{0,4}}-0,6-\left(\frac{0,3^{9}}{7}\right)^{0,8^{0,1}}$

$\cdot$ $ - 2 = \sqrt[3]{{ - 8}} = {( - 8)^{\frac{1}{3}}} = {( - 8)^{\frac{2}{6}}} = {\left[ {{{( - 8)}^2}} \right]^{\frac{1}{6}}} = {64^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{{64}} = 2$

 

 

 

 


#13 Tienanh tx

Tienanh tx

    $\Omega \textbf{Bùi Tiến Anh} \Omega$

  • Thành viên
  • 360 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathfrak{Bình Phước}$
  • Sở thích:$\mathfrak{Geometry}$

Đã gửi 10-07-2013 - 23:23

d) Tìm $x$ biết $(4+2^2+2^3+2^4+...+2^{20}).x=2^{22}-2^{21}$

Lời giải: 

 

$\oplus$ Ta có: $4+2^2+2^3+2^4+...+2^{20}$

           $= 2^2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^{20}$

           $=2.2^2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^{20}$

           $=2^3 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + ... + 2^{20}$

           $=2.2^3 + 2^4 + 2^5 + ... + 2^{20}$

           $=2^4 + 2^4 + 2^5 + ... + 2^{20}$

                     $ \cdots \cdots \cdots \cdots $

           $= 2^{20} + 2^{20}$

           $=2.2^{20}$

           $=2^{21}$

$\Longrightarrow$ $4+2^2+2^3+2^4+...+2^{20}=2^{21}$  $(1)$

$\oplus$ Ta có: $2^{22} - 2^{21} = 2^{21} . 2 - 2^{21} = 2^{21} (2-1) = 2^{21}$
$\Longrightarrow$ $2^{22} - 2^{21} = 2^{21}$ $(2)$

$\oplus$ Từ $(1)$ và $(2)$ $\Longrightarrow$ $\mathbf{PTTĐ} = (4+2^2+2^3+2^4+...+2^{20}).x=2^{22}-2^{21}$

                           $\Longleftrightarrow$ $2^{21} . x = 2^{21}$

                           $\Longrightarrow$ $x=1$

                           $\Longrightarrow$ $QED$


$\cdot$ $( - 1) = {( - 1)^5} = {( - 1)^{2.\frac{5}{2}}} = {\left[ {{{( - 1)}^2}} \right]^{\frac{5}{2}}} = {1^{\frac{5}{2}}} =\sqrt{1}= 1$

$\cdot$ $\dfrac{0}{0}=\dfrac{100-100}{100-100}=\dfrac{10.10-10.10}{10.10-10.10}=\dfrac{10^2-10^2}{10(10-10)}=\dfrac{(10-10)(10+10)}{10(10-10)}=\dfrac{20}{10}=2$

$\cdot$ $\pi\approx 2^{5^{0,4}}-0,6-\left(\frac{0,3^{9}}{7}\right)^{0,8^{0,1}}$

$\cdot$ $ - 2 = \sqrt[3]{{ - 8}} = {( - 8)^{\frac{1}{3}}} = {( - 8)^{\frac{2}{6}}} = {\left[ {{{( - 8)}^2}} \right]^{\frac{1}{6}}} = {64^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{{64}} = 2$

 

 

 

 


#14 Tienanh tx

Tienanh tx

    $\Omega \textbf{Bùi Tiến Anh} \Omega$

  • Thành viên
  • 360 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathfrak{Bình Phước}$
  • Sở thích:$\mathfrak{Geometry}$

Đã gửi 11-07-2013 - 00:59

Mình úp thêm một số bài toán tính tổng, các bạn tha hồ giải nhé  :luoi:

 

$\boxed{13}$ Chứng minh rằng $A=1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + ... + n^5 = \dfrac{1}{2}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)$

 

$\boxed{14}$ Chứng minh rằng $A=1^3+2^3+3^3+....+n^3 = (1+2+3+4+...+n)^2$

 

$\boxed{15}$ Tính tổng: $A=1^k + 2^k + 3^k + 4^k + ... + n^k$ $(k > 0 )$

 

$\boxed{16}$ Tính tổng: $A= 1! + 2.(2!) + 3.(3!) + 4.(4!) + 5.(5!) + ... + n.(n!)$ với ($n! = 1.2.3.4.5. .... n$)

 

$\boxed{17}$ Tính tổng: $A= 1 + 2p + 3p^2 + ... (n+1)p^n$ $(p \neq 1)$

 

$\boxed{18}$ Chứng minh công thức: $k(k+1)(k+2)(k+3) - (k-1)k(k+1)(k+2)= 4k(k+1)(k+2)$. 

 

$\boxed{19}$ Tìm $x$: 

 $a,$ $(x+1) + (x+2) + (x+3) + ...+ (x+100) = 5070$

 $b,$ $1+2+3+4+... + x = 820$

 $c,$ $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{10}} + ...... + \frac{2}{{x(x + 1)}} = \frac{{1991 + 1989}}{{1991}}$

 

$\boxed{20}$ Tính tổng: $A=\frac{1}{{{3^0}}} + \frac{1}{{{3^1}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ..... + \frac{1}{{{3^{2005}}}}$

 

$\boxed{21}$ Tính tổng: $A=1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n(3n-1)$

 

$\boxed{22}$ Tính tổng: $A=1 + p + p^2 + p^3+ p^4 + ... + p^n$ $(p \neq 1)$

 

$\boxed{23}$ Tính tổng: $A = \frac{3}{{{{(1.2)}^2}}} + \frac{5}{{{{(2.3)}^2}}} + ....... + \frac{{2n + 1}}{{{{\left[ {n(n + 1)} \right]}^2}}}$

 

$\boxed{23}$ Tính tổng: $ A = \frac{1}{{1.2.3.4}} + \frac{1}{{2.3.4.5}} + ...... + \frac{1}{{n(n + 1)(n + 2)(n + 3)}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tienanh tx: 12-07-2013 - 18:12

$\cdot$ $( - 1) = {( - 1)^5} = {( - 1)^{2.\frac{5}{2}}} = {\left[ {{{( - 1)}^2}} \right]^{\frac{5}{2}}} = {1^{\frac{5}{2}}} =\sqrt{1}= 1$

$\cdot$ $\dfrac{0}{0}=\dfrac{100-100}{100-100}=\dfrac{10.10-10.10}{10.10-10.10}=\dfrac{10^2-10^2}{10(10-10)}=\dfrac{(10-10)(10+10)}{10(10-10)}=\dfrac{20}{10}=2$

$\cdot$ $\pi\approx 2^{5^{0,4}}-0,6-\left(\frac{0,3^{9}}{7}\right)^{0,8^{0,1}}$

$\cdot$ $ - 2 = \sqrt[3]{{ - 8}} = {( - 8)^{\frac{1}{3}}} = {( - 8)^{\frac{2}{6}}} = {\left[ {{{( - 8)}^2}} \right]^{\frac{1}{6}}} = {64^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{{64}} = 2$

 

 

 

 


#15 Supermath98

Supermath98

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 512 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Toán;Thơ;đá bóng;...

Đã gửi 11-07-2013 - 08:38

Mình góp ý một chút:  XÂY DỰNG CÔNG THỨC TÍNH TỔNG CÁC SỐ TỰ NHIÊN BẰNG ĐA THỨC

Giả sử đa thức $\large f\left ( x \right )$ có bậc $\large n$. Xét đẳng thức $\large g\left ( x \right )=f\left ( x \right )-f\left ( x-1 \right )$                             (1)

 

Nhận xét rằng: $\large \cdot g\left ( x \right )$ có bậc là $\large n-1$

 

                        $\large \cdot$ Khi thay x lần lượt bằng các sô 1;2;3.....;n vào (1) rồi cộng lại thì ta được:

                                      $\large g\left ( 1 \right )+g\left ( 2 \right )+....+g\left ( n \right )=f\left ( n \right )-f\left ( 0 \right )$            (2)

 

Từ đó, ta có các bước thực hiện bài toán tính tổng các số như sau: 

 

$\large \star$ Bước 1:  Lựa chọn một hàm số $\large g\left ( x \right )$ có bậc là $\large k$

 

$\large \star$ Bước 2: Xác định hàm số $\large f\left ( x \right )$ có bậc $\large k+1$ thỏa mãn: $\large g\left ( x \right )=f\left ( x \right )-f\left ( x-1 \right )$

 

$\large \star$ Bước 3: Dựa trên (2) ta tính được tổng cần tính.

 

 

Ví dụ : (Bài toán 1 ở trên) Tính tổng    $\large A=1+2+3+4+.....+n-1+n$

Lời giải: Chọn hàm số $\large g\left ( x \right )=x$ có bậc 1.

Ta cần đi xác định hàm số $\large f\left ( x \right )$ bậc 2 dạng $\large f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c$ thỏa mãn:

                                                              $\large f\left ( x \right )-f\left ( x-1 \right )=g\left ( x \right )$

Hay                                              $\large ax^{2}+bx+x-\left [ a\left ( x-1 \right )^{2} +b\left ( x-1 \right )+c\right ]=x$

                                                     $\large \Leftrightarrow 2ax-a+b=x$

 

Đồng nhất hệ số ta được $\large a=b=\frac{1}{2}$ và c tùy ý

 

Khi đó thì $\large A=g\left ( 1 \right )+g\left ( 2 \right )+.....+g\left ( n \right )=f\left ( n \right )-f\left ( 0 \right )=\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2}=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}$

 

--------------------------------------------------------------------

P/s: Chắc cách của mình chỉ làm được các tổng bậc nhỏ!  :(  :(  :(


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Supermath98: 11-07-2013 - 09:01

:icon12: :icon12: :icon12: Đừng bao giờ ngồi một chỗ và ước. Hãy đứng dậy và làm:icon12: :icon12: :icon12:

#16 Supermath98

Supermath98

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 512 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Toán;Thơ;đá bóng;...

Đã gửi 11-07-2013 - 09:00

Mình úp thêm một số bài toán tính tổng, các bạn tha hồ giải nhé  :luoi:

 

 

 

$\boxed{14}$ Chứng minh rằng $A=1^3+2^3+3^3+....+n^3 = (1+2+3+4+...+n)^2$

 

Có lẽ cách của mình chỉ làm được nhưng bài bậc nhỏ.  :(

Ta tính tổng: $\large A=1^{3}+2^{3}+3^{3}+.....+n^{3}$

Chọn đa thức $\large g\left ( x \right )=x^{3}$ có bậc 3. 

Khi đó ta cần tìm đa thức có bậc 4 $\large f\left ( x \right )=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$ thỏa mãn: 

 

$\large ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e-a\left ( x-1 \right )^{4}-b\left ( x-1 \right )^{3}-c\left ( x-1 \right )^{2}-d\left ( x-1 \right )-e=x^{3}$

$\large \Rightarrow 4ax^{3}+\left ( 3b-6a \right )x^{2}+\left ( 4a-3b+2c \right )x-a+b+d=x^{3}$

Từ đó ta được $\large a=c=\frac{1}{4};b=\frac{1}{2};d=0$ và e tùy ý. 

 

Khi đó $\large A=\frac{n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}}{4}=\left ( \frac{n\left ( n+1 \right )}{2} \right )^{2}$

 

Ở trên ta tính được$\large \large VP=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}\Rightarrow dpcm$


:icon12: :icon12: :icon12: Đừng bao giờ ngồi một chỗ và ước. Hãy đứng dậy và làm:icon12: :icon12: :icon12:

#17 Supermath98

Supermath98

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 512 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Toán;Thơ;đá bóng;...

Đã gửi 11-07-2013 - 12:51

Mình úp thêm một số bài toán tính tổng, các bạn tha hồ giải nhé  :luoi:

 

 

$\boxed{23}$ Tính tổng: $ A = \frac{1}{{1.2.3.4}} + \frac{1}{{2.3.4.5}} + ...... + \frac{1}{{n(n + 1)(n + 2)(n + 3)}}$

Ta có: $\large \frac{1}{n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )\left ( n+3 \right )}=\frac{1}{3}\left ( \frac{1}{n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )}-\frac{1}{\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )\left ( n+3 \right )} \right )$

 

Áp dụng ta có: $\large \frac{1}{1.2.3.4}=\frac{1}{3}\left ( \frac{1}{1.2.3}-\frac{1}{2.3.4} \right )$

                         $\large ..................................$

 

Cộng theo vế thì ta được $\large A=\frac{1}{3}\left ( \frac{1}{1.2.3}-\frac{1}{\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )\left ( n+3 \right )} \right )=\frac{1}{18}-\frac{1}{\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )\left ( n+3 \right )}$


:icon12: :icon12: :icon12: Đừng bao giờ ngồi một chỗ và ước. Hãy đứng dậy và làm:icon12: :icon12: :icon12:

#18 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 11-07-2013 - 13:03

$\boxed{24}$. 

Tính $A=\bar{a}+\overline{aa}+\overline{aaa} +\overline{\underset{n}{\underbrace{aa...aa}}}$

$\boxed{25}$

Tính $A=1.1!+2.2!+3.3!+...+n.n!$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 11-07-2013 - 13:04

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#19 Supermath98

Supermath98

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 512 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Toán;Thơ;đá bóng;...

Đã gửi 11-07-2013 - 13:04

Mình úp thêm một số bài toán tính tổng, các bạn tha hồ giải nhé  :luoi:

 

$\boxed{19}$ Tìm $x$: 

 $a,$ $(x+1) + (x+2) + (x+3) + ...+ (x+100) = 5070$

 $b,$ $1+2+3+4+... + x = 820$

 

 

 

a. Ta thấy VT có 100 hạng tử nên có 100 số $\large x$. Bây giờ ta đi tính tổng:$\large S=1+2+3+4+...........+100$

Ta đã biết công thức $\large S=\frac{\left ( n+\left ( n-k \right ) \right )\left ( k+1 \right )}{2}$ là tổng của biểu thức là các số tự nhiên liên tiếp có k+1 số hạng. 

 

Do đó ta có $\large S=5050$. Khi đó $\large x=20$

 

b. Từ bài toán 1 ta tính được $\large VT=\frac{x\left ( x+1 \right )}{2}$. Khi đó phương trình trở thành: 

 

 $\large \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}=870\Leftrightarrow x=40$ V x=-41


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Supermath98: 11-07-2013 - 13:05

:icon12: :icon12: :icon12: Đừng bao giờ ngồi một chỗ và ước. Hãy đứng dậy và làm:icon12: :icon12: :icon12:

#20 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-07-2013 - 16:16



$\boxed{25}$ Tính $A=1.1!+2.2!+3.3!+...+n.n!$

Ta có $A=1.1!+2.2!+3.3!+...+n.n!$

$\Rightarrow A=(2-1).1!+(3-1).2!+(4-1).3!+...+(n+1-1).n!$

$\Rightarrow A=(2.1!+3.2!+4.3!+...+(n+1).n!)-(1!+2!+3!+...+n!)$

$\Rightarrow \boxed{A=[2!+3!+4!+...+(n+1)!]-(1!+2!+3!+...+n!)=(n+1)!-1}$

 

 



$\boxed{22}$ Tính tổng: $A=1 + p + p^2 + p^3+ p^4 + ... + p^n$ $(p \neq 1)$

Xét $p=1,$ ta có $A=1+1+1^2+...+1^n=n+1$

Xét $p\geq 2,$ ta có:

$pA=p+p^2+p^4+...+p^{n+1}$

$\Rightarrow (p-1)A=p^{n+1}-1$

$\Rightarrow \boxed{A=\dfrac{p^{n+1}-1}{p-1}}$

 



$\boxed{17}$ Tính tổng: $A= 1 + 2p + 3p^2 + ... +(n+1)p^n$ $(p \neq 1)$

Xét $p=1,$ ta có: $A=1+2.1+3.1+...+(n+1).1=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$

Xét $p\geq 2,$ ta có:

$pA=p+2p^2+3p^3+...+(n+1)p^{n+1}$

$\Rightarrow (p-1)A=(n+1)p^{n+1}-(1+p+p^2+...+p^n)$

$\Rightarrow (p-1)A=(n+1)p^{n+1}-\dfrac{p^{n+1}-1}{p-1}$

$\Rightarrow (p-1)A=\dfrac{(n+1)p^{n+1}(p-1)-p^{n+1}+1}{p-1}$

$\Rightarrow \boxed{A=\dfrac{(n+1)p^{n+2}-(n+2)p^{n+1}+1}{(p-1)^2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 11-07-2013 - 16:17





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh