Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * - 14 Bình chọn

[TOPIC] Bài toán tính tổng các dãy số có quy luật


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 107 trả lời

#41 miumiu

miumiu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS trưng vương, hà nội

Đã gửi 13-04-2014 - 21:01

22) 
$A.p=p+p^2+...........+p^{n+1}$ 
$A.(p-1)=p^{n+1}-1$ 
=> $A=\frac{p^{n+1}-1}{p-1}$

16)
Ta có: 1!=2!-1!

2.2!=3!-2!

3.3!=4!-3!

..... .... ...

n.n!=(n+1)-n!

Vậy A=2!-1!+3!-2!+4!-3!+....+(n+1)!-n!

         =(n+1)!-1!=(n+1)!-1


tình bạn là có được chiếc chìa khóa mở vào tâm hồn người khác.( Edgar Goodspeed)

:icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12:
 

 


#42 miumiu

miumiu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS trưng vương, hà nội

Đã gửi 13-04-2014 - 21:15

Mình úp thêm một số bài toán tính tổng, các bạn tha hồ giải nhé  :luoi:

 

$\boxed{16}$ Tính tổng: $A= 1! + 2.(2!) + 3.(3!) + 4.(4!) + 5.(5!) + ... + n.(n!)$ với ($n! = 1.2.3.4.5. .... n$

Ta có: 1!=2!-1!

2.2!=3!-2!

3.3!=4!-3!

..... .... ...

n.n!=(n+1)-n!

Vậy A=2!-1!+3!-2!+4!-3!+....+(n+1)!-n!

         =(n+1)!-1!=(n+1)!-1


tình bạn là có được chiếc chìa khóa mở vào tâm hồn người khác.( Edgar Goodspeed)

:icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12:
 

 


#43 miumiu

miumiu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS trưng vương, hà nội

Đã gửi 13-04-2014 - 21:31

 

TOPIC VỀ BÀI CÁC TOÁN TÍNH TỔNG

 

1, Lời nói đầu

Trong quá trình làm việc với các dạng toán, đặc biệt là các dạng toán liên quan tới yếu tố tính tổng, mình nhận thấy mổi một bài toán tính tổng đều có một vẻ đẹp rất là riêng. Nay mình lập TOPIC này để tổng hợp các bài toán tính tổng nhằm phục vụ cho các bạn ôn thi HSG 8,9, thi tuyển sinh vào trường Chuyên và Năng khiếu và hơn hết là dành cho các bạn có niềm đam mê với môn Toán

 

2, Những điều cần lưu ý khi post bài

  + Khi post bài nhớ đánh số thứ tự

  + Gõ công thức toán bằng $Latex$

  + Tránh hiện tượng Spam gây loãng TOPIC

  + Các bạn nên tìm thêm công thức tỗng quát để tăng sự  (Không bắt buộc)

  + Nên giãi bằng nhiều cách cho một bài toán (Không bắt buộc)

  + Ghi rõ các bước làm hoặc có thể tóm gọn cách làm 

P/s: Để tăng tính thẩm mĩ các bạn nên để tiêu đề trong CODE sau cho đẹp 

$\boxed{\text{ Bài toán :}}$ Nội dung bài toán

---------------------------------------------

Mình bắt đầu TOPIC với một bài toán đơn giãn nhé ^^

 

g, $G=\dfrac{1}{1.2.3} + \dfrac{1}{2.3.4} + \dfrac{1}{3.4.5} + … + \dfrac{1}{(n-2)(n-1)n}$


 

 

MONG NHẬN ĐƯỢC SỰ ỦNG HỘ NHIỆT TÌNH  CỦA MỌI NGƯỜI

 

ta có G=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{1.2}$-$\frac{1}{2.3}$)+$\frac{1}{2}(\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4})+.....+\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)} \right )$

G=$\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+.....+\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)} \right )$

G=$\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{1.2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)} \right )=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$


tình bạn là có được chiếc chìa khóa mở vào tâm hồn người khác.( Edgar Goodspeed)

:icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12:
 

 


#44 miumiu

miumiu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS trưng vương, hà nội

Đã gửi 15-04-2014 - 13:30

 

 

 

e, $E= 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + (n-3)(n-2)(n-1) + (n-2)(n-1)n$

=>E=$\frac{1}{4}$.(n-2).(n-1).n(n+1)


tình bạn là có được chiếc chìa khóa mở vào tâm hồn người khác.( Edgar Goodspeed)

:icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12:
 

 


#45 miumiu

miumiu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS trưng vương, hà nội

Đã gửi 15-04-2014 - 13:33

 


$\boxed{\text{ Bài toán :}}$ Nội dung bài toán

a, $A= 1+2+3+4+…+(n-1) + n$


 

 

MONG NHẬN ĐƯỢC SỰ ỦNG HỘ NHIỆT TÌNH  CỦA MỌI NGƯỜI

 

A=n(n+1)/2


tình bạn là có được chiếc chìa khóa mở vào tâm hồn người khác.( Edgar Goodspeed)

:icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12:
 

 


#46 miumiu

miumiu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS trưng vương, hà nội

Đã gửi 15-04-2014 - 13:36

Mình bắt đầu TOPIC với một bài toán đơn giãn nhé ^^

b, $B= 1^2 + 2^2 + 3^2 + …+ (n-1)^2 + n^2$

=>B=n.(n+1).(2.n+1)/6


 

MONG NHẬN ĐƯỢC SỰ ỦNG HỘ NHIỆT TÌNH  CỦA MỌI NGƯỜI

 


tình bạn là có được chiếc chìa khóa mở vào tâm hồn người khác.( Edgar Goodspeed)

:icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12:
 

 


#47 miumiu

miumiu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS trưng vương, hà nội

Đã gửi 15-04-2014 - 13:40

Mình bắt đầu TOPIC với một bài toán đơn giãn nhé ^^

 

d, $D= 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ (n-2)(n-1) + (n-1)n$

 

MONG NHẬN ĐƯỢC SỰ ỦNG HỘ NHIỆT TÌNH  CỦA MỌI NGƯỜI

 

=>D=$\frac{1}{3}$.n.(n-1).(n+1)


tình bạn là có được chiếc chìa khóa mở vào tâm hồn người khác.( Edgar Goodspeed)

:icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12:
 

 


#48 bichnt01

bichnt01

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 16-04-2014 - 08:57

Giải giúp với nhé!

Tính tổng:

1) $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2005}$

2) $\frac{2004}{1}+\frac{2003}{2}+\frac{2002}{3}+...+\frac{1}{2004}$



#49 trungthinh

trungthinh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đăk Lăk

Đã gửi 16-04-2014 - 20:27

Chứng minh rằng: 

 

$1.2.3...2002.\left ( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2001}+\frac{1}{2002} \right )$ chia hết cho 2003.



#50 nguyenhien2000

nguyenhien2000

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Quảng Nam

Đã gửi 17-04-2014 - 11:17

   d. Ta có:

$\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{(n-1)n} = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1} = 1 + 0 + 0 +...+ 0 -\frac{1}{n-1} = 1 - \frac{1}{n-1} = \frac{n-2}{n-1}$



#51 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-04-2014 - 14:02

Chứng minh rằng: 

 

$1.2.3...2002.\left ( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2001}+\frac{1}{2002} \right )$ chia hết cho 2003.

Một cách tổng quát: Nếu $p$ là số nguyên tố lẻ thì

$(p-1)!\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k}\equiv 0\pmod{p}$

 

Áp dụng định lý Wilson $\quad (p-1)!\equiv -1\pmod{p}$ với lưu ý rằng $(p-1)!=1.(p-1).2.3...(p-2)$ được chia thành đúng $\dfrac{p-3}{2}$ cặp tích $i.j\quad (i,j\in\{2,...,p-2\};\;i\ne j)$ sao cho $i.j\equiv 1\pmod{p}$

 

Khi đó $\dfrac{(p-1)!}{i}\equiv -j\pmod{p}$ và $\dfrac{(p-1)!}{j}\equiv -i\pmod{p}$

Thế nên $\dfrac{(p-1)!}{k}$ với $k$ chạy từ $2$ đến $p-2$ tạo ra $p-3$ số dư khác nhau $(-2,...,-(p-2))$ theo $\pmod{p}$

 

Và $(p-1)!\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k}\equiv -1+1-(2+...+p-2)=\dfrac{p(3-p)}{2}\equiv 0\pmod{p}$


Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#52 miumiu

miumiu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS trưng vương, hà nội

Đã gửi 19-04-2014 - 19:12

mình xin đóng góp một bài:

tìm x biết:x+(x+x)+(x+2)+(x+3)+...+(x+2009)=2009.2010


tình bạn là có được chiếc chìa khóa mở vào tâm hồn người khác.( Edgar Goodspeed)

:icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12:
 

 


#53 miumiu

miumiu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS trưng vương, hà nội

Đã gửi 19-04-2014 - 19:13

bài này nữa:

tính M=1.2+2.3+3.4+...+2009.2010


tình bạn là có được chiếc chìa khóa mở vào tâm hồn người khác.( Edgar Goodspeed)

:icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12:
 

 


#54 mnguyen99

mnguyen99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 696 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán ,THPT chuyên Quốc Học Huế
  • Sở thích:Sherlock Holmes, người đàn ông chưa bao giờ sống và không bao giờ chết.

Đã gửi 19-04-2014 - 19:28

bài này nữa:

tính M=1.2+2.3+3.4+...+2009.2010

ta có 3M=1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+...+2009.2010(2011-2008)

         3M=1.2.3-0.1.2.3+2.3.4-2.3.1+3.4.5-2.3.4+...+2009.2010.2011-2008.2009.2010

         3M=2009.2010.2011


THCS NGUYỄN DUY,PHONG ĐIỀN$\Rightarrow$THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ$\Rightarrow$??? 

 

TẬP LÀM THÁM TỬ TẠI ĐÂY http://diendantoanho...ám/#entry513026


#55 miumiu

miumiu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS trưng vương, hà nội

Đã gửi 19-04-2014 - 19:36

cảm ơn bạn nhiều nha


tình bạn là có được chiếc chìa khóa mở vào tâm hồn người khác.( Edgar Goodspeed)

:icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12: :icon12:
 

 


#56 trungthinh

trungthinh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đăk Lăk

Đã gửi 21-04-2014 - 22:53

Một cách tổng quát: Nếu $p$ là số nguyên tố lẻ thì

$(p-1)!\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k}\equiv 0\pmod{p}$

 

Áp dụng định lý Wilson $\quad (p-1)!\equiv -1\pmod{p}$ với lưu ý rằng $(p-1)!=1.(p-1).2.3...(p-2)$ được chia thành đúng $\dfrac{p-3}{2}$ cặp tích $i.j\quad (i,j\in\{2,...,p-2\};\;i\ne j)$ sao cho $i.j\equiv 1\pmod{p}$

 

Khi đó $\dfrac{(p-1)!}{i}\equiv -j\pmod{p}$ và $\dfrac{(p-1)!}{j}\equiv -i\pmod{p}$

Thế nên $\dfrac{(p-1)!}{k}$ với $k$ chạy từ $2$ đến $p-2$ tạo ra $p-3$ số dư khác nhau $(-2,...,-(p-2))$ theo $\pmod{p}$

 

Và $(p-1)!\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k}\equiv -1+1-(2+...+p-2)=\dfrac{p(3-p)}{2}\equiv 0\pmod{p}$

 

 

Èo, mấy cái đó mình chưa học, đọc chẳng hiểu gì cả! Có cách giải khác không?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trungthinh: 21-04-2014 - 22:54


#57 trungthinh

trungthinh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đăk Lăk

Đã gửi 21-04-2014 - 23:05

Chứng minh rằng: $\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{2008^2+2009^2}<\frac{1}{2}$

 

$\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2006^2}+\frac{1}{2007^2}}$ là số hữu tỉ.



#58 mnguyen99

mnguyen99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 696 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán ,THPT chuyên Quốc Học Huế
  • Sở thích:Sherlock Holmes, người đàn ông chưa bao giờ sống và không bao giờ chết.

Đã gửi 22-04-2014 - 22:02

Chứng minh rằng: $\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{2008^2+2009^2}<\frac{1}{2}$

 

$\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2006^2}+\frac{1}{2007^2}}$ là số hữu tỉ.

ĐẲNG thức có tổng quát:$\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{(a+1)^{2}}}=\frac{1}{a(a+1)}+1$

bạn kt cái nhé.


THCS NGUYỄN DUY,PHONG ĐIỀN$\Rightarrow$THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ$\Rightarrow$??? 

 

TẬP LÀM THÁM TỬ TẠI ĐÂY http://diendantoanho...ám/#entry513026


#59 balothenorthface

balothenorthface

    Lính mới

  • Banned
  • 5 Bài viết

Đã gửi 23-04-2014 - 11:18

a. Ta thấy VT có 100 hạng tử nên có 100 số $\large x$. Bây giờ ta đi tính tổng:$\large S=1+2+3+4+...........+100$

Ta đã biết công thức $\large S=\frac{\left ( n+\left ( n-k \right ) \right )\left ( k+1 \right )}{2}$ là tổng của biểu thức là các số tự nhiên liên tiếp có k+1 số hạng. 

 

Do đó ta có $\large S=5050$. Khi đó $\large x=20$

 

b. Từ bài toán 1 ta tính được $\large VT=\frac{x\left ( x+1 \right )}{2}$. Khi đó phương trình trở thành: 

 

 $\large \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}=870\Leftrightarrow x=40$ V x=-41

 

 

balo the north face | balo north face



#60 kingkn02

kingkn02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 142 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Thuận

Đã gửi 29-04-2014 - 14:32

Mình úp thêm một số bài toán tính tổng, các bạn tha hồ giải nhé  :luoi:

 

$\boxed{13}$ Chứng minh rằng $A=1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + ... + n^5 = \dfrac{1}{2}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)$

 

$\boxed{14}$ Chứng minh rằng $A=1^3+2^3+3^3+....+n^3 = (1+2+3+4+...+n)^2$

 

$\boxed{15}$ Tính tổng: $A=1^k + 2^k + 3^k + 4^k + ... + n^k$ $(k > 0 )$

 

$\boxed{16}$ Tính tổng: $A= 1! + 2.(2!) + 3.(3!) + 4.(4!) + 5.(5!) + ... + n.(n!)$ với ($n! = 1.2.3.4.5. .... n$)

 

$\boxed{17}$ Tính tổng: $A= 1 + 2p + 3p^2 + ... (n+1)p^n$ $(p \neq 1)$

 

$\boxed{18}$ Chứng minh công thức: $k(k+1)(k+2)(k+3) - (k-1)k(k+1)(k+2)= 4k(k+1)(k+2)$. 

 

$\boxed{19}$ Tìm $x$: 

 $a,$ $(x+1) + (x+2) + (x+3) + ...+ (x+100) = 5070$

 $b,$ $1+2+3+4+... + x = 820$

 $c,$ $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{10}} + ...... + \frac{2}{{x(x + 1)}} = \frac{{1991 + 1989}}{{1991}}$

 

$\boxed{20}$ Tính tổng: $A=\frac{1}{{{3^0}}} + \frac{1}{{{3^1}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ..... + \frac{1}{{{3^{2005}}}}$

 

$\boxed{21}$ Tính tổng: $A=1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n(3n-1)$

 

$\boxed{22}$ Tính tổng: $A=1 + p + p^2 + p^3+ p^4 + ... + p^n$ $(p \neq 1)$

 

$\boxed{23}$ Tính tổng: $A = \frac{3}{{{{(1.2)}^2}}} + \frac{5}{{{{(2.3)}^2}}} + ....... + \frac{{2n + 1}}{{{{\left[ {n(n + 1)} \right]}^2}}}$

 

$\boxed{23}$ Tính tổng: $ A = \frac{1}{{1.2.3.4}} + \frac{1}{{2.3.4.5}} + ...... + \frac{1}{{n(n + 1)(n + 2)(n + 3)}}$

Bài 19: a) $(x+1)+(x+2)+(x+3)+...+(x+100)=5070 \Longleftrightarrow x+1+x+2+x+3+...+x+100=5070 \Longleftrightarrow (x+x+x+...+x)+(1+2+3+...+100)=5070 \Longleftrightarrow 100x+\frac{100.101}{2}=5070 \Longleftrightarrow 100x+5050=5070 \Longleftrightarrow x=\frac{1}{5}$






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh