Chủ đề này có 107 trả lời

[miumiu]

22) 
$A.p=p+p^2+...........+p^{n+1}$ 
$A.(p-1)=p^{n+1}-1$ 
=> $A=\frac{p^{n+1}-1}{p-1}$

16)
Ta có: 1!=2!-1!

2.2!=3!-2!

3.3!=4!-3!

..... .... ...

n.n!=(n+1)-n!

Vậy A=2!-1!+3!-2!+4!-3!+....+(n+1)!-n!

         =(n+1)!-1!=(n+1)!-1

[miumiu]

Mình úp thêm một số bài toán tính tổng, các bạn tha hồ giải nhé 

 

$\boxed{16}$ Tính tổng: $A= 1! + 2.(2!) + 3.(3!) + 4.(4!) + 5.(5!) + ... + n.(n!)$ với ($n! = 1.2.3.4.5. .... n$

Ta có: 1!=2!-1!

2.2!=3!-2!

3.3!=4!-3!

..... .... ...

n.n!=(n+1)-n!

Vậy A=2!-1!+3!-2!+4!-3!+....+(n+1)!-n!

         =(n+1)!-1!=(n+1)!-1

[miumiu]

 

TOPIC VỀ BÀI CÁC TOÁN TÍNH TỔNG

 

1, Lời nói đầu

Trong quá trình làm việc với các dạng toán, đặc biệt là các dạng toán liên quan tới yếu tố tính tổng, mình nhận thấy mổi một bài toán tính tổng đều có một vẻ đẹp rất là riêng. Nay mình lập TOPIC này để tổng hợp các bài toán tính tổng nhằm phục vụ cho các bạn ôn thi HSG 8,9, thi tuyển sinh vào trường Chuyên và Năng khiếu và hơn hết là dành cho các bạn có niềm đam mê với môn Toán

 

2, Những điều cần lưu ý khi post bài

  + Khi post bài nhớ đánh số thứ tự

  + Gõ công thức toán bằng $Latex$

  + Tránh hiện tượng Spam gây loãng TOPIC

  + Các bạn nên tìm thêm công thức tỗng quát để tăng sự  (Không bắt buộc)

  + Nên giãi bằng nhiều cách cho một bài toán (Không bắt buộc)

  + Ghi rõ các bước làm hoặc có thể tóm gọn cách làm 

P/s: Để tăng tính thẩm mĩ các bạn nên để tiêu đề trong CODE sau cho đẹp 

$\boxed{\text{ Bài toán :}}$ Nội dung bài toán

---------------------------------------------

Mình bắt đầu TOPIC với một bài toán đơn giãn nhé ^^

 

g, $G=\dfrac{1}{1.2.3} + \dfrac{1}{2.3.4} + \dfrac{1}{3.4.5} + … + \dfrac{1}{(n-2)(n-1)n}$

 

 

MONG NHẬN ĐƯỢC SỰ ỦNG HỘ NHIỆT TÌNH  CỦA MỌI NGƯỜI

 

ta có G=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{1.2}$-$\frac{1}{2.3}$)+$\frac{1}{2}(\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4})+.....+\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)} \right )$

G=$\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+.....+\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)} \right )$

G=$\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{1.2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)} \right )=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

[miumiu]

 

 

 

e, $E= 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + (n-3)(n-2)(n-1) + (n-2)(n-1)n$

=>E=$\frac{1}{4}$.(n-2).(n-1).n(n+1)

[miumiu]

 

$\boxed{\text{ Bài toán :}}$ Nội dung bài toán

a, $A= 1+2+3+4+…+(n-1) + n$

 

 

MONG NHẬN ĐƯỢC SỰ ỦNG HỘ NHIỆT TÌNH  CỦA MỌI NGƯỜI

 

A=n(n+1)/2

[miumiu]

Mình bắt đầu TOPIC với một bài toán đơn giãn nhé ^^

b, $B= 1^2 + 2^2 + 3^2 + …+ (n-1)^2 + n^2$

=>B=n.(n+1).(2.n+1)/6

 

MONG NHẬN ĐƯỢC SỰ ỦNG HỘ NHIỆT TÌNH  CỦA MỌI NGƯỜI

 

[miumiu]

Mình bắt đầu TOPIC với một bài toán đơn giãn nhé ^^

 

d, $D= 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ (n-2)(n-1) + (n-1)n$

 

MONG NHẬN ĐƯỢC SỰ ỦNG HỘ NHIỆT TÌNH  CỦA MỌI NGƯỜI

 

=>D=$\frac{1}{3}$.n.(n-1).(n+1)

[bichnt01]

Giải giúp với nhé!

Tính tổng:

1) $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2005}$

2) $\frac{2004}{1}+\frac{2003}{2}+\frac{2002}{3}+...+\frac{1}{2004}$

[trungthinh]

Chứng minh rằng: 

 

$1.2.3...2002.\left ( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2001}+\frac{1}{2002} \right )$ chia hết cho 2003.

[nguyenhien2000]

   d. Ta có:

$\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{(n-1)n} = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1} = 1 + 0 + 0 +...+ 0 -\frac{1}{n-1} = 1 - \frac{1}{n-1} = \frac{n-2}{n-1}$

[hxthanh]

Chứng minh rằng: 

 

$1.2.3...2002.\left ( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2001}+\frac{1}{2002} \right )$ chia hết cho 2003.

Một cách tổng quát: Nếu $p$ là số nguyên tố lẻ thì

$(p-1)!\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k}\equiv 0\pmod{p}$

 

Áp dụng định lý Wilson $\quad (p-1)!\equiv -1\pmod{p}$ với lưu ý rằng $(p-1)!=1.(p-1).2.3...(p-2)$ được chia thành đúng $\dfrac{p-3}{2}$ cặp tích $i.j\quad (i,j\in\{2,...,p-2\};\;i\ne j)$ sao cho $i.j\equiv 1\pmod{p}$

 

Khi đó $\dfrac{(p-1)!}{i}\equiv -j\pmod{p}$ và $\dfrac{(p-1)!}{j}\equiv -i\pmod{p}$

Thế nên $\dfrac{(p-1)!}{k}$ với $k$ chạy từ $2$ đến $p-2$ tạo ra $p-3$ số dư khác nhau $(-2,...,-(p-2))$ theo $\pmod{p}$

 

Và $(p-1)!\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k}\equiv -1+1-(2+...+p-2)=\dfrac{p(3-p)}{2}\equiv 0\pmod{p}$

[miumiu]

mình xin đóng góp một bài:

tìm x biết:x+(x+x)+(x+2)+(x+3)+...+(x+2009)=2009.2010

[miumiu]

bài này nữa:

tính M=1.2+2.3+3.4+...+2009.2010

[mnguyen99]

bài này nữa:

tính M=1.2+2.3+3.4+...+2009.2010

ta có 3M=1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+...+2009.2010(2011-2008)

         3M=1.2.3-0.1.2.3+2.3.4-2.3.1+3.4.5-2.3.4+...+2009.2010.2011-2008.2009.2010

         3M=2009.2010.2011

[miumiu]

cảm ơn bạn nhiều nha

[trungthinh]

Một cách tổng quát: Nếu $p$ là số nguyên tố lẻ thì

$(p-1)!\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k}\equiv 0\pmod{p}$

 

Áp dụng định lý Wilson $\quad (p-1)!\equiv -1\pmod{p}$ với lưu ý rằng $(p-1)!=1.(p-1).2.3...(p-2)$ được chia thành đúng $\dfrac{p-3}{2}$ cặp tích $i.j\quad (i,j\in\{2,...,p-2\};\;i\ne j)$ sao cho $i.j\equiv 1\pmod{p}$

 

Khi đó $\dfrac{(p-1)!}{i}\equiv -j\pmod{p}$ và $\dfrac{(p-1)!}{j}\equiv -i\pmod{p}$

Thế nên $\dfrac{(p-1)!}{k}$ với $k$ chạy từ $2$ đến $p-2$ tạo ra $p-3$ số dư khác nhau $(-2,...,-(p-2))$ theo $\pmod{p}$

 

Và $(p-1)!\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k}\equiv -1+1-(2+...+p-2)=\dfrac{p(3-p)}{2}\equiv 0\pmod{p}$

 

 

Èo, mấy cái đó mình chưa học, đọc chẳng hiểu gì cả! Có cách giải khác không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trungthinh: 21-04-2014 - 22:54

[trungthinh]

Chứng minh rằng: $\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{2008^2+2009^2}<\frac{1}{2}$

 

$\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2006^2}+\frac{1}{2007^2}}$ là số hữu tỉ.

[mnguyen99]

Chứng minh rằng: $\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{2008^2+2009^2}<\frac{1}{2}$

 

$\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2006^2}+\frac{1}{2007^2}}$ là số hữu tỉ.

ĐẲNG thức có tổng quát:$\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{(a+1)^{2}}}=\frac{1}{a(a+1)}+1$

bạn kt cái nhé.

[balothenorthface]

a. Ta thấy VT có 100 hạng tử nên có 100 số $\large x$. Bây giờ ta đi tính tổng:$\large S=1+2+3+4+...........+100$

Ta đã biết công thức $\large S=\frac{\left ( n+\left ( n-k \right ) \right )\left ( k+1 \right )}{2}$ là tổng của biểu thức là các số tự nhiên liên tiếp có k+1 số hạng. 

 

Do đó ta có $\large S=5050$. Khi đó $\large x=20$

 

b. Từ bài toán 1 ta tính được $\large VT=\frac{x\left ( x+1 \right )}{2}$. Khi đó phương trình trở thành: 

 

 $\large \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}=870\Leftrightarrow x=40$ V x=-41

 

 

balo the north face | balo north face

[kingkn02]

Mình úp thêm một số bài toán tính tổng, các bạn tha hồ giải nhé 

 

$\boxed{13}$ Chứng minh rằng $A=1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + ... + n^5 = \dfrac{1}{2}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)$

 

$\boxed{14}$ Chứng minh rằng $A=1^3+2^3+3^3+....+n^3 = (1+2+3+4+...+n)^2$

 

$\boxed{15}$ Tính tổng: $A=1^k + 2^k + 3^k + 4^k + ... + n^k$ $(k > 0 )$

 

$\boxed{16}$ Tính tổng: $A= 1! + 2.(2!) + 3.(3!) + 4.(4!) + 5.(5!) + ... + n.(n!)$ với ($n! = 1.2.3.4.5. .... n$)

 

$\boxed{17}$ Tính tổng: $A= 1 + 2p + 3p^2 + ... (n+1)p^n$ $(p \neq 1)$

 

$\boxed{18}$ Chứng minh công thức: $k(k+1)(k+2)(k+3) - (k-1)k(k+1)(k+2)= 4k(k+1)(k+2)$. 

 

$\boxed{19}$ Tìm $x$: 

 $a,$ $(x+1) + (x+2) + (x+3) + ...+ (x+100) = 5070$

 $b,$ $1+2+3+4+... + x = 820$

 $c,$ $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{10}} + ...... + \frac{2}{{x(x + 1)}} = \frac{{1991 + 1989}}{{1991}}$

 

$\boxed{20}$ Tính tổng: $A=\frac{1}{{{3^0}}} + \frac{1}{{{3^1}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ..... + \frac{1}{{{3^{2005}}}}$

 

$\boxed{21}$ Tính tổng: $A=1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n(3n-1)$

 

$\boxed{22}$ Tính tổng: $A=1 + p + p^2 + p^3+ p^4 + ... + p^n$ $(p \neq 1)$

 

$\boxed{23}$ Tính tổng: $A = \frac{3}{{{{(1.2)}^2}}} + \frac{5}{{{{(2.3)}^2}}} + ....... + \frac{{2n + 1}}{{{{\left[ {n(n + 1)} \right]}^2}}}$

 

$\boxed{23}$ Tính tổng: $ A = \frac{1}{{1.2.3.4}} + \frac{1}{{2.3.4.5}} + ...... + \frac{1}{{n(n + 1)(n + 2)(n + 3)}}$

Bài 19: a) $(x+1)+(x+2)+(x+3)+...+(x+100)=5070 \Longleftrightarrow x+1+x+2+x+3+...+x+100=5070 \Longleftrightarrow (x+x+x+...+x)+(1+2+3+...+100)=5070 \Longleftrightarrow 100x+\frac{100.101}{2}=5070 \Longleftrightarrow 100x+5050=5070 \Longleftrightarrow x=\frac{1}{5}$