Chủ đề này có 7 trả lời

[MrJokerWTF]

Cho a,b,c dương thỏa mãn $a^{3} + b^{3} + 2c^{3} = 1$ Chứng minh rằng : $\frac{a^{2}}{b^{3}+2c^{3}} + \frac{b^{2}}{a^{3}+2c^{3}} + \frac{2c^{2}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}} \geq  4$\frac{\sqrt[3]{4}}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MrJokerWTF: 10-07-2013 - 06:55

[AM GM]

Cho a,b,c dương thỏa mãn $a^{3} + b^{3} + 2c^{3} = 1$ Chứng minh rằng : $\frac{a^{2}}{b^{3}+2c^{3}} + \frac{b^{2}}{a^{3}+2c^{3}} + \frac{2c^{2}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}} \geq  4\sqrt[3]{\frac{4}{3}}$

 

ta co

 

 

 

 

 

$\frac{a^{2}}{b^{3}+2c^{3}}=\frac{a^{2}}{1-a^{3}} \Rightarrow 3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}\geq a\left ( 1-a^{3} \right ) \Rightarrow \frac{a^{3}}{3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}}\geq \frac{a^{2}}{1-a^{3}} \Rightarrow \frac{a^{3}}{3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}}\leq \frac{a^{2}}{b^{3}+2c^{3}}$ tuong tu $\Rightarrow \frac{b^{2}}{a^{3}+2b^{3}}\geq \frac{b^{3}}{3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}}$

 

$\frac{2c^{2}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\geq \frac{2c^{3}}{3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}}$

cộng vào suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AM GM: 09-07-2013 - 23:28

[kinhvung]

ta co

 

 

 

 

 

$\frac{a^{2}}{b^{3}+2c^{3}}=\frac{a^{2}}{1-a^{3}} \Rightarrow 3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}\geq a\left ( 1-a^{3} \right ) \Rightarrow \frac{a^{3}}{3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}}\geq \frac{a^{2}}{1-a^{3}} \Rightarrow \frac{a^{3}}{3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}}\leq \frac{a^{2}}{b^{3}+2c^{3}}$ tuong tu $\Rightarrow \frac{b^{2}}{a^{3}+2b^{3}}\geq \frac{b^{3}}{3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}}$

 

$\frac{2c^{2}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\geq \frac{2c^{3}}{3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}}$

cộng vào suy ra đpcm

Dấu = sảy ra khi nào?

+Nếu  a³=b³ = 2c³=1/3 thì thay vào bất đẳng thức có đúng? Kết quả <

+ Mình cảm thấy không ổn lắm trong đầu bài. 

[AM GM]

dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a= b= c= \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

bạn xem lai đoạn cuối đi

[MrJokerWTF]

ta co

 

 

 

 

 

$\frac{a^{2}}{b^{3}+2c^{3}}=\frac{a^{2}}{1-a^{3}} \Rightarrow 3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}\geq a\left ( 1-a^{3} \right ) \Rightarrow \frac{a^{3}}{3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}}\geq \frac{a^{2}}{1-a^{3}} \Rightarrow \frac{a^{3}}{3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}}\leq \frac{a^{2}}{b^{3}+2c^{3}}$ tuong tu $\Rightarrow \frac{b^{2}}{a^{3}+2b^{3}}\geq \frac{b^{3}}{3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}}$

 

$\frac{2c^{2}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\geq \frac{2c^{3}}{3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}}$

cộng vào suy ra đpcm

Tại sao lại suy ra đc $3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}} \geq a(1-a^{3})$ hả bạn ?

[AM GM]

ta c$a^{4}+\sqrt[3]{\frac{1}{3^{4}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{3^{4}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{3^{4}}}\geq a$ó  (cô si 4 số)

chắc lúc mình sửa bài bị xoá mất phần trên

[JokerDinoTienTien]

Áp dụng BĐT AM-MG : $a^{4} + \sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}} \geq a$ 
$\Rightarrow a - a^{4} \leq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}} \Rightarrow a(1-a^{3}) \leq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}$$\Rightarrow \frac{a^{3}}{a(1-a^{3})} \geq \frac{a^{3}}{3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}} \Rightarrow \frac{a^{2}}{1-a^{3}} \geq \frac{a^{3}}{3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}}$ 
Ta có : $\frac{a^{2}}{b^{3}+2c^{3}} = \frac{a^{2}}{1-a^{3}} \geq \frac{a^{3}}{3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}}$ (1)
Chứng minh tương tự : $\frac{b^{2}}{a^{3}+2c^{3}} \geq \frac{b^{3}}{3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}}$  (2)
                                     $\frac{2c^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}} \geq \frac{2c^{3}}{3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}}$   (3)
(1)(2)(3) $\Rightarrow \frac{a^{2}}{b^{3}+2c^{3}}+\frac{b^{2}}{a^{3}+2c^{3}} + \frac{2c^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}} \geq \frac{a^{3}+b^{3}+2c^{3}}{3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}} = \frac{1}{\frac{3}{4\sqrt[3]{4}}} = 4.\frac{\sqrt[3]{4}}{3}$ ( ĐPCM )
Dấu đẳng thức $\Leftrightarrow a= b= c= \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

[kinhvung]

dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a= b= c= \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

bạn xem lai đoạn cuối đi

OK; Vì đầu bài gõ sai số 3 trong căn nên thấy vô lý (không tìm ra dấu =) nên vậy