Cho $a,b,c$ là ba số thực dương không đồng thời bằng $0$ thỏa mãn $(a+b+c)^2=2(a^2+b^2+c^2)$. Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của : $$ P =\frac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(ab+ac+bc)}$$
Đề cho a,b,c thực dương mà sao lại không đồng thời bằng 0 vậy bạn
Mình nghĩ chắc hẳn ý bạn là a,b,c không âm và không đồng thời bằng 0
Nếu vậy,ta có:
Trước hết ta dự đoán dấu = xảy ra khi có 2 số bằng nhau nên a=b,c=0 hoặc 4a=4b=c
Min trước
$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\geq 1\Leftrightarrow (a+b+c)^{3}-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)\Leftrightarrow 2(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})+3abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)\Leftrightarrow 4(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)\Leftrightarrow 3abc\geq 0$
Đẳng thức xảy ra khi có 1 số =0,nên hiển nhiên 2 số còn lại bằng nhau
Max
$\frac{\sum a^{3}}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\geq \frac{11}{9}\Leftrightarrow 9(a+b+c)^{3}-\frac{27}{4}(a+b+c)^{3}+27abc\leq \frac{11}{4}(a+b+c)^{3}\Leftrightarrow (a+b+c)^{3}\geq 54abc$
Không mất tính tổng quát ,ta chuẩn hóa a+b+c=6,đặt a=x,b=y,4z=c
BÀi toán của ta chuyển thành
$x^{2}+y^{2}+16z^{2}=18$
Và $x+y+4z= 6$
Cần chứng minh xyz $\leq 1$
Ta có :$x^{2}-2x+1+y^{2}-2y+1+16(z^{2}-2z+1)\geq 0\Leftrightarrow 32z^{2}\leq 32z\Rightarrow z\leq 1$
Lại có $x^{2}+y^{2}+16z^{2}= 18\Leftrightarrow -2xy+16z^{2}(x+y)^{2}-2xy+16z^{2}=18\Leftrightarrow (6-4z)^{2}=18\Leftrightarrow 16z^{2}+9= 24z+xy\Leftrightarrow 16z^{3}+9z= 24z^{2}+xyz$
Ta chỉ cần chứng minh $16z^{2}+9z-24z^{2}\leq 1\Leftrightarrow (z-1)(4z-1)^{2}\leq 0$ đúng do z không lớn hơn 1
Từ đây ta có max $= \frac{11}{9}$
Vậy tóm lại
Min P $= 1$ khi a=b,c=0 và các hoán vị
Max P $= \frac{11}{9}$ khi 4a=4b=c cùng các hoán vị