Chủ đề này có 8 trả lời

[quynho96hy]

Cho $a,b,c$ là ba số thực dương không đồng thời bằng $0$ thỏa mãn $(a+b+c)^2=2(a^2+b^2+c^2)$. Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của : $$ P =\frac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(ab+ac+bc)}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quynho96hy: 10-07-2013 - 21:06

[4869msnssk]

Cho $a,b,c$ là ba số thực dương không đồng thời bằng $0$ thỏa mãn $(a+b+c)^2=2(a^2+b^2+c^2)$. Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của : 

 $P =(\frac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(ab+ac+bc)})=2\frac{\sum a^{3}}{(\sum a)(\sum a^{2})}= 4\left ( \frac{\sum a^{3}}{\sum a^{3} } \right )= 4$

mình nghĩ thế 

[Best Friend]

 $P =(\frac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(ab+ac+bc)})=2\frac{\sum a^{3}}{(\sum a)(\sum a^{2})}$$= 4\left ( \frac{\sum a^{3}}{\sum a^{3} } \right )= 4$

mình nghĩ thế 

Làm sao có chỗ này đc hả bạn, mà dấu = xảy ra khi nào

[4869msnssk]

mình suy từ GT ra mà

đầu tiên phá ngoặc ra rồi theo giả thiết cũ 

từ GT suy ra $2(ab+bc+ac) =a^{2} +b^{2}+c{2}$ 

rồi sau đó lại có sẵn từ giả thiết $(\sum a)^{2} =(\sum a^{2})$ thay vào 

vì vậy mới phải nhân 4 thêm ở tử số đó 

p/s đúng ko nhỉ

[babystudymaths]

 $P =(\frac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(ab+ac+bc)})=2\frac{\sum a^{3}}{(\sum a)(\sum a^{2})}= 4\left ( \frac{\sum a^{3}}{\sum a^{3} } \right )= 4$

mình nghĩ thế 

Bài bạn giải sai rồi,lí do là biến đổi nhầm tai hại,hi hi,bài này có Min Max chứ không phải hằng số đâu

[babystudymaths]

Cho $a,b,c$ là ba số thực dương không đồng thời bằng $0$ thỏa mãn $(a+b+c)^2=2(a^2+b^2+c^2)$. Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của : $$ P =\frac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(ab+ac+bc)}$$

 

Đề cho a,b,c thực dương mà sao lại không đồng thời bằng 0 vậy bạn  

Mình nghĩ chắc hẳn ý bạn là  a,b,c không âm và không đồng thời bằng 0

Nếu vậy,ta có:

Trước hết ta dự đoán dấu = xảy ra khi có 2 số bằng nhau nên a=b,c=0 hoặc 4a=4b=c

Min trước

$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\geq 1\Leftrightarrow (a+b+c)^{3}-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)\Leftrightarrow 2(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})+3abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)\Leftrightarrow 4(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)\Leftrightarrow 3abc\geq 0$

Đẳng thức xảy ra khi có 1 số =0,nên hiển nhiên 2 số còn lại bằng nhau

Max

$\frac{\sum a^{3}}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\geq \frac{11}{9}\Leftrightarrow 9(a+b+c)^{3}-\frac{27}{4}(a+b+c)^{3}+27abc\leq \frac{11}{4}(a+b+c)^{3}\Leftrightarrow (a+b+c)^{3}\geq 54abc$

Không mất tính tổng quát ,ta chuẩn hóa a+b+c=6,đặt a=x,b=y,4z=c

BÀi toán của ta chuyển thành

$x^{2}+y^{2}+16z^{2}=18$

Và $x+y+4z= 6$

Cần chứng minh xyz $\leq 1$

Ta có :$x^{2}-2x+1+y^{2}-2y+1+16(z^{2}-2z+1)\geq 0\Leftrightarrow 32z^{2}\leq 32z\Rightarrow z\leq 1$

Lại có $x^{2}+y^{2}+16z^{2}= 18\Leftrightarrow -2xy+16z^{2}(x+y)^{2}-2xy+16z^{2}=18\Leftrightarrow (6-4z)^{2}=18\Leftrightarrow 16z^{2}+9= 24z+xy\Leftrightarrow 16z^{3}+9z= 24z^{2}+xyz$

Ta chỉ cần chứng minh $16z^{2}+9z-24z^{2}\leq 1\Leftrightarrow (z-1)(4z-1)^{2}\leq 0$ đúng do z không lớn hơn 1 

Từ đây ta có max $= \frac{11}{9}$

Vậy tóm lại

Min P $= 1$ khi a=b,c=0 và các hoán vị 

Max P $= \frac{11}{9}$ khi 4a=4b=c cùng các hoán vị 

[quynho96hy]

biến đổi tương đương. khó thế này trình mình k đủ. dù sao cũng thank. hiểu sơ sơ phần min :v

[babystudymaths]

biến đổi tương đương. khó thế này trình mình k đủ. dù sao cũng thank. hiểu sơ sơ phần min :v

Bạn cứ viết lại ra giấy rồi nhìn lại mà xem,đơn giản vô cùng,thật đấy

[thinhthoithuong]

Bạn gì đó ơi! Bạn học kĩ thuật đổi biến p,q,r nữa; nếu rồi thì mình chỉ bạn một cách khá  nhanh này:

- Đề bài:  $(a+b+c)^2=2(a^2+b^2+c^2)$

- Khi bạn gặp bài nào như thế này,thường thì mình " chơi" đổi biến p,q,r

- Đặt $p=a+b+c$           $q=ab+bc+ac$           $r=abc$;

- Đề bài: $p^2 = 2(p^2-2q) \Leftrightarrow p^2=4q$

Bạn phải biết chỗ này: $a^3+b^3+c^3 = p^3-3pqr+3r$ ( thực chất là phải biết vầy: $a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)^3- 3(a+b)(b+c)(c+a)$ và $(a+b)(b+c)(c+a)= pq-r$)

$\Rightarrow$ $\mathbb{P} = \frac{p^3-3pq+3r}{pq}=\frac{p^3+3r}{pq}-3$ 

 và ta có $4q=p^2$ ( giả thiết suy ra) $\Rightarrow$ $p^3 = 4pq$ (nhân p vô 2 vế)

nên ta có thể viết $\mathbb{P}= \frac{4pq+3r}{pq}-3 = 4-3+ \frac{3r}{pq} = 1+ \frac{3r}{pq}$- 

-Tới đây tìm min thì quá dễ hehehe: để P min thì $\frac{3r}{pq}$ min, mà để nó min thì $r=abc$ min nên một trong 3 số phải = 0 ( vì các số này không âm), giả sử là c -->  a=b ( thế vô giả thiết) mình nghĩ cách này tới đây giống bạn trên thôi =.= vì nó chỉ đơn thuần là nhìn gọn hơn và làm bởi người có kinh nghiệm ( ý mình là kinh nghiệm học qua việc biến đổi biến)

- Tìm max: cách của bạn trên là ok nhất rồi, nếu tiếp tục chuyển biến giống mình thì vì các biến này vai trò dấu = không bình đẳng nên giải rất là dài >.< ( khuyết điểm của việc chuyển biến là đây) 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhthoithuong: 18-07-2013 - 19:54