Cho x,y,z >0.Chứng minh rằng :
$\frac{\sqrt{x^2+2y^2}}{z}+\frac{\sqrt{y^2+2z^2}}{x}+\frac{\sqrt{z^2+2x^2}}{y} \geq \sqrt{3}$
$\frac{\sqrt{x^2+2y^2}}{z}+\frac{\sqrt{y^2+2z^2}}{x}+\frac{\sqrt{z^2+2x^2}}{y} \geq \sqrt{3}$
Bắt đầu bởi lovemoon, 10-07-2013 - 19:28
#2
Đã gửi 10-07-2013 - 19:40
ongngua97
-
- Thành viên
-
- 311 Bài viết
Sĩ quan
Ta dễ cm được bđt sau: $\sqrt{a^{2}+b^2+c^2}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{3}}$
Áp dụng bđt trên, ta có $(VT)\geq \sum \frac{x+2y}{\sqrt{3}z} $ $\geq \frac{1}{\sqrt{3}}(\sum \frac{3\sqrt[3]{xy^{2}}}{z}) \geq \sqrt{3}.3\sqrt[3]{\prod \frac{\sqrt{xy^{2}}}{z}}=3\sqrt{3}$
Dấu = đạt được khi x=y=z.
-----------------
p/s:có lẽ cũng không cần dùng bđt phụ.
Hình như (VP) là $3\sqrt{3}$ chứ nhỉ. 
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongngua97: 10-07-2013 - 19:50
- sieutoan99, Tienanh tx và lovemoon thích
ONG NGỰA 97. 
#3
Đã gửi 11-07-2013 - 07:31
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Cho x,y,z >0.Chứng minh rằng :
$\frac{\sqrt{x^2+2y^2}}{z}+\frac{\sqrt{y^2+2z^2}}{x}+\frac{\sqrt{z^2+2x^2}}{y} \geq \sqrt{3}$
Lời giải. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz thì $(x^2+2y^2)(1+ 2) \ge (x+2y)^2$.
Do đó $\sum \frac{ \sqrt{x^2+2y^2}}{z} \ge \frac{1}{ \sqrt 3} \cdot \left( \frac{$x+2y}{z}+ \frac{y+2z}{x}+ \frac{z+2x}{y} \right)$
Lại có $\sum \frac{x+2y}{z} = \sum \frac xz + \sum \frac{2y}{z} \ge 9$.
Vậy $\sum \frac{ \sqrt{x^2+2y^2}}{z} \ge 3 \sqrt 3$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z$.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
