Chủ đề này có 2 trả lời

[Vu Thuy Linh]

Chứng minh với mọi a, b, c dương

$\frac{a^{3}}{b^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}}\geq \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}$

Mod. Chú ý tiêu đề phải thật ngắn gọn mới có thể hiển thị công thức toán.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 11-07-2013 - 06:10

[Best Friend]

Chứng minh với mọi a, b, c dương

$\frac{a^{3}}{b^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}}\geq \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}$

Áp dụng BĐT AM-GM

Đầu tiên ta sẽ cm bài toán phụ sau : $\sum \frac{a^{2}}{b}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c}=a+b+c$

Ta có : $\frac{a^{3}}{b^{2}}+a\geq 2\frac{a^{2}}{b}$

CMTT : .........

$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}}\geq 2\sum \frac{a^{2}}{b}-\sum a\geq \sum \frac{a^{2}}{b}$

vì $-\sum a\geq \sum -\frac{a^{2}}{b}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Best Friend: 10-07-2013 - 20:50

[Messi10597]

Áp dụng BĐT: $x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y)$

ta có:  $\frac{a^{3}+b^{3}}{b^{2}}\geq \frac{ab(a+b)}{b^{2}}=\frac{a^{2}}{b}+a\Leftrightarrow \frac{a^{3}}{b^{2}}+b\geq \frac{a^{2}}{b}+a$

Hoàn toàn tương tự ta có: $\frac{b^{3}}{c^{2}}+c\geq \frac{b^{2}}{c}+b$

                                          $\frac{c^{3}}{a^{2}}+a\geq \frac{c^{2}}{a}+c$

 Cộng vế với vế của các BĐT cùng chiều $\Rightarrow dpcm$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$