Chủ đề này có 1 trả lời

[phanquockhanh]

Cho các số thực  $x,y,z >0$ thỏa mãn: $x =y+z +xyz$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$P= \frac{(z+z\sqrt{xy})^2}{(x+y)(z^2 +1)} +\frac{2z}{(z^2 +1)\sqrt{z^2 +1}}$

 

 

[trauvang97]

 

Cho các số thực  $x,y,z >0$ thỏa mãn: $x =y+z +xyz$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$P= \frac{(z+z\sqrt{xy})^2}{(x+y)(z^2 +1)} +\frac{2z}{(z^2 +1)\sqrt{z^2 +1}}$

 

 

Ta có:

 

   $P=\frac{z(z+xyz+2z\sqrt{xy})}{(x+y)(z^{2}+1)}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}$

 

   $P=\frac{z(x-y+2z\sqrt{xy})}{(x+y)(z^{2}+1)}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}$

 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovsky ta có:

 

 $x-y+2z\sqrt{xy}=\sqrt{((x-y).1+2\sqrt{xy}.z)^{2}}\leq \sqrt{((x-y)^{2}+4xy)(1+z^{2})}=(x+y)\sqrt{z^{2}+1}$

 

Do đó, ta có:

 

$P\leq \frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{2z}{\sqrt{z^{2}+1}}\left ( 1-\frac{z^{2}}{z^{2}+1} \right )$

 

$P\leq \frac{3z}{\sqrt{z^{2}+1}}-\frac{2z^{3}}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}$

 

Khảo sát hàm số: $f(t)=3t-2t^{3}$ với $0\leq t=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{\sqrt{2}}{2}$

 

ta thấy $P\leq f(t)\leq \sqrt{2}$

 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=\sqrt{2}+1,y=\sqrt{2}-1,z=1$

 

Vậy giá trị lớn nhất của $P$ là $\sqrt{2}$