Chủ đề này có 1 trả lời

[phanquockhanh]

Cho các  số thực  $x;y;z >0$ ;$x^2 +y^2 +z^2 =\frac{1}{3}$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$P= \frac{xy +yz +zx}{x+y+z} +\frac{2(x+y+z)}{9(xy+yz+zx)}$

[SOYA264]

Cho các  số thực  $x;y;z >0$ ;$x^2 +y^2 +z^2 =\frac{1}{3}$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$P= \frac{xy +yz +zx}{x+y+z} +\frac{2(x+y+z)}{9(xy+yz+zx)}$

$P= \frac{xy +yz +zx}{x+y+z} +\frac{2(x+y+z)}{9(xy+yz+zx)}$

   

$\geq \frac{(x+y+z)^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{2(x+y+z)}+\frac{2(x+y+z)}{3(x+y+z)^{2}}$

   

$=\frac{(x+y+z)^{2}-\frac{1}{3}}{2(x+y+z)}+\frac{2}{3(x+y+z)}$

   

$=\frac{x+y+z}{2}+\frac{5}{6(x+y+z)}$

 

Đặt $x+y+z=t$, ta có: $(x+y+z)^{2}\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})=3.\frac{1}{3}=1\Rightarrow 0< t\leq 1$

 

Khi đó: $P\geq \frac{t}{2}+\frac{5}{6t}$

 

Xét hàm: $f(t)= \frac{t}{2}+\frac{5}{6t}$ trên (0;1]

 

$f'(t)= \frac{3t^{2}-5}{6t^{2}}=0\Leftrightarrow t=\pm \sqrt{\frac{5}{3}}$

 

Dựa vào bảng biến thiên, hàm $f(t)$ nghịch biến trên (0;1]

 

$f(t)\geq f(1)=\frac{4}{3}$

 

Vậy minP=$\frac{4}{3}$, đạt được khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SOYA264: 12-07-2013 - 07:18