Chủ đề này có 22 trả lời

[Supermath98]

Cho 3 số thực dương $\large a;b;c$ thỏa mãn $\large ab+bc+ac\geq 3$. CMR: 

 

$\large \sum \frac{a^{4}}{b+3c}\geq \frac{3}{4}$

 

 

-----------------------------------------------------------------------------------

P/s: hãy kéo xuống dưới cùng rồi hãy đcj ở trên!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Supermath98: 12-07-2013 - 11:15

[hoctrocuanewton]

Cho 3 số thực dương $\large a;b;c$ thỏa mãn $\large ab+bc+ac\geq 3$. CMR: 

 

$\large \sum \frac{a^{4}}{b+3c}\geq \frac{3}{4}$

$\frac{a^{4}}{b+3c}+\frac{b^{4}}{c+3a}+\frac{c^{4}}{a+3b}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{4(a+b+c)}$

ap dung AM-GM ta co $a\leqslant \frac{ a^{2}+1}{2}$

tuong tu ta co

$a+b+c\leqslant \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3}{2}$

ma $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant ab+bc+ac\geqslant 3$

nen $a+b+c\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}$

vay $\frac{a^{4}}{b+3c}+\frac{b^{4}}{c+3a}+\frac{c^{4}}{a+3b}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{4(a+b+c)}$$\geqslant \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}\geqslant \frac{3}{4}$

[Supermath98]

$\frac{a^{4}}{b+3c}+\frac{b^{4}}{c+3a}+\frac{c^{4}}{a+3b}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{4(a+b+c)}$

ap dung AM-GM ta co $a\leqslant \frac{ a^{2}+1}{2}$

tuong tu ta co

$a+b+c\leqslant \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3}{2}$

ma $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant ab+bc+ac\geqslant 3$

nen $a+b+c\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}$

vay $\frac{a^{4}}{b+3c}+\frac{b^{4}}{c+3a}+\frac{c^{4}}{a+3b}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{4(a+b+c)}$$\geqslant \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}\geqslant \frac{3}{4}$

tức thật đoạn cuối làm sai!

[badboykmhd123456]

$\frac{a^{4}}{b+3c}+\frac{b^{4}}{c+3a}+\frac{c^{4}}{a+3b}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{4(a+b+c)}$

ap dung AM-GM ta co $a\leqslant \frac{ a^{2}+1}{2}$

tuong tu ta co

$a+b+c\leqslant \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3}{2}$

ma $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant ab+bc+ac\geqslant 3$

nen $a+b+c\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}$

vay $\frac{a^{4}}{b+3c}+\frac{b^{4}}{c+3a}+\frac{c^{4}}{a+3b}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{4(a+b+c)}$$\geqslant \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}\geqslant \frac{3}{4}$

cách khác

$(a+b+c)^2 \geq 3(ab+ac+bc) \geq 9\Rightarrow a+b+c \geq 3$

$\sum \frac{a^4}{b+3c}\geq \frac{(\sum a^2)^2}{4(a+b+c)}\geq \frac{(\sum a)^4}{36(a+b+c)}=\frac{(a+b+c)^3}{36}\geq \frac{3^3}{36}=\frac{3}{4}$

[Supermath98]

cách khác

$(a+b+c)^2 \geq 3(ab+ac+bc) \geq 9\Rightarrow a+b+c \geq 3$

$\sum \frac{a^4}{b+3c}\geq \frac{(\sum a^2)^2}{4(a+b+c)}\geq \frac{(\sum a)^4}{36(a+b+c)}=\frac{(a+b+c)^3}{36}\geq \frac{3^3}{36}=\frac{3}{4}$

Bạn làm sai do ngược dấu! vì khi $\large a+b+c\geq 9\Rightarrow 4\left ( a+b+c \right )\geq 36\Rightarrow \frac{1}{a+b+c}\leq \frac{1}{9}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Supermath98: 12-07-2013 - 10:43

[hoctrocuanewton]

Bạn làm sai do ngược dấu!

nguoc dau cho nao ha cau chi ro cho to duoc khong

[badboykmhd123456]

Bạn làm sai do ngược dấu! vì khi $\large a+b+c\geq 9\Rightarrow 4\left ( a+b+c \right )\geq 36\Rightarrow \frac{1}{a+b+c}\leq \frac{1}{9}$

chỉ dùm mk ngược chỗ nào cái đọc kĩ hãng cmt nhá

[hoctrocuanewton]

Bạn làm sai do ngược dấu! vì khi $\large a+b+c\geq 9\Rightarrow 4\left ( a+b+c \right )\geq 36\Rightarrow \frac{1}{a+b+c}\leq \frac{1}{9}$cau ay chi ap dung cho m

 

Bạn làm sai do ngược dấu! vì khi $\large a+b+c\geq 9\Rightarrow 4\left ( a+b+c \right )\geq 36\Rightarrow \frac{1}{a+b+c}\leq \frac{1}{9}$

nhung cau ay chi ap dung cho tu thoi con mau thi bi khu roi

[Supermath98]

chỉ dùm mk ngược chỗ nào cái đọc kĩ hãng cmt nhá

 

cách khác

$(a+b+c)^2 \geq 3(ab+ac+bc) \geq 9\Rightarrow a+b+c \geq 3$

$\sum \frac{a^4}{b+3c}\geq \frac{(\sum a^2)^2}{4(a+b+c)}\geq \frac{(\sum a)^4}{36(a+b+c)}=\frac{(a+b+c)^3}{36}\geq \frac{3^3}{36}=\frac{3}{4}$

do $\large a+b+c\geq 9\Rightarrow \frac{1}{a+b+c}\leq \frac{1}{9}\Rightarrow \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{4\left ( a+b+c \right )}\leq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{36}$

[Supermath98]

Mẫu càng lớn thì phân thức càng nhỏ

[Supermath98]

$\frac{a^{4}}{b+3c}+\frac{b^{4}}{c+3a}+\frac{c^{4}}{a+3b}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{4(a+b+c)}$

ap dung AM-GM ta co $a\leqslant \frac{ a^{2}+1}{2}$

tuong tu ta co

$a+b+c\leqslant \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3}{2}$

ma $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant ab+bc+ac\geqslant 3$

nen $a+b+c\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}$

vay $\frac{a^{4}}{b+3c}+\frac{b^{4}}{c+3a}+\frac{c^{4}}{a+3b}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{4(a+b+c)}$$\geqslant \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}\geqslant \frac{3}{4}$

Mình vẫn thắc mắc chỗ màu xanh

[Supermath98]

bạn giải thích chỗ bôi đỏ

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz $\large \sum \frac{a^{2}}{x}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{x+y+z}$

[chetdi]

Mình vẫn thắc mắc chỗ màu xanh

vì $\sum (a-b)^{2}\geq 0$ nên $\sum a^{2}\geq \sum ab\geq 3 \Rightarrow a+b+c\leq \frac{2\sum a^{2}}{2}$

[Supermath98]

vì $\sum (a-b)^{2}\geq 0$ nên $\sum a^{2}\geq \sum ab\geq 3 \Rightarrow a+b+c\leq \frac{2\sum a^{2}}{2}$

Làm sao được bạn xem lại chiều xem! $\large \sum a^{2}\geq \sum ab\geq 3\Rightarrow VP\geq \frac{2\sum a^{2}}{2}\geq \sum a^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Supermath98: 12-07-2013 - 11:06

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Hình như cách của cậu badboykmhd123456 là đúng chứ nhỉ?

Đoạn bôi đỏ viết ra là:

Do $3(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a + b + c)^2 \Rightarrow \dfrac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{4(a + b + c)} \geq \dfrac{(a + b + c)^4}{36(a + b + c)} = \dfrac{(a + b + c)^3}{36}$

Chưa đụng chạm đến vấn đề $a + b + c \geq 3$

[hoctrocuanewton]

Làm sao được bạn xem lại chiều xem! $\large \sum a^{2}\geq \sum ab\geq 3\Rightarrow VP\geq \frac{2\sum a^{2}}{2}\geq \sum a^{2}$

$a+b+c\leqslant \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3}{2}$

vi  $3\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}$

nen a+b+c$\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}$

to thay sai cho nao dau

[trananh2771998]

Mình vẫn thắc mắc chỗ màu xanh

Theo C-S thì $\left ( \sum a^{2} \right )\left ( 1+1+1 \right )\geq \left ( \sum a \right )^{2}\geq 3\left ( \sum a \right )\rightarrow \sum a^{2}\geq \sum a$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trananh2771998: 12-07-2013 - 11:16

[keolac410]

$\frac{a^{4}}{b+3c}+\frac{b^{4}}{c+3a}+\frac{c^{4}}{a+3b}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{4(a+b+c)}$

ap dung AM-GM ta co $a\leqslant \frac{ a^{2}+1}{2}$

tuong tu ta co

$a+b+c\leqslant \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3}{2}$

ma $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant ab+bc+ac\geqslant 3$

nen $a+b+c\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}$

vay $\frac{a^{4}}{b+3c}+\frac{b^{4}}{c+3a}+\frac{c^{4}}{a+3b}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{4(a+b+c)}$$\geqslant \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}\geqslant \frac{3}{4}$

Các bác chỉ thêm cho em chỗ màu đỏ với ạ

[Supermath98]

Các bác chỉ thêm cho em chỗ màu đỏ với ạ

Áp dụng BĐT này 

 

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz $\large \sum \frac{a^{2}}{x}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{x+y+z}$

[badboykmhd123456]

mỗi bài nho nhỏ mà cmt dữ thiệt chắc tại mk vs bạn hoctrocuanewton làm tắt quá lần sau sẽ rút kinh nghiệm @@!!