Chủ đề này có 4 trả lời

[gogeta]

1. Giải hệ phương trình:

   a) $3x - 4y = - 5$ ; $x - 2y = 4$.

   b) $(x-y)^2-(x-y)=6;2(x^2+y^2)=5xy$.

2. Tìm nghiệm tự nhiên x, y, z thỏa mãn:

   $\sqrt{x-y+z}=\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{z}$ ; $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$.

3. Cho p là số nguyên tố lẻ và $m=\frac{9^{p}-1}{8}$. Chứng minh m là hợp số lẻ, m không chia hết cho 3 và $3^{m-1}\equiv 1$ (mod m).

[bachhammer]

Câu 2: Hiển nhiên x,y,z phải là nguyên dương rùi. Từ pt đầu ta bình phương hai vế và biển đổi được $(\sqrt{y}-\sqrt{x})(\sqrt{y}-\sqrt{z})=0\Leftrightarrow x=y\vee y=z.$. Xét y = z (trường hợp còn lại tương tự). Thay vào phương trình 2 và biến đổi tương đương ta được $xy-2x-y+2=2\Leftrightarrow (x-1)(y-2)=2$. Phương trình này có thể giải được, hình như là (3;3) và (2;4). Từ đó ta có các nghiệm (3;3;3); (2;4;4).

[badboykmhd123456]

1. Giải hệ phương trình:

   a) $3x - 4y = - 5$ ; $x - 2y = 4$.

   b) $(x-y)^2-(x-y)=6;2(x^2+y^2)=5xy$.

2. Tìm nghiệm tự nhiên x, y, z thỏa mãn:

   $\sqrt{x-y+z}=\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{z}$ ; $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$.

3. Cho p là số nguyên tố lẻ và $m=\frac{9^{p}-1}{8}$. Chứng minh m là hợp số lẻ, m không chia hết cho 3 và $3^{m-1}\equiv 1$ (mod m).

bài 1

a) quá dễ rồi

b) Đặt $ x-y=a;xy=b$ là đk

[bachhammer]

Câu 3 khá hay nhể: Ta có ngay $m=(\frac{3^{p}-1}{2})(\frac{3^{p}+1}{4})$. Dễ thấy các nhân tử (là các biểu thức trong ngoặc) đều nguyên và lớn hơn 1 nên m là hợp số. Mặt khác $m=\sum_{i=0}^{p-1}9^{i}$ là lẻ.

Theo định lí Fermat ta thấy $9^{p}-9\vdots p$, mặt khác nó cũng chia hết cho 8 nên $9^{p}-9\vdots 8p$ hay $m-1=\frac{9^{p}-9}{8}\vdots p\Rightarrow m-1\vdots 2p$ (do m-1 chẵn). Thế nên $3^{m-1}-1\vdots 3^{2p}-1=9^{p}-1\vdots \frac{9^{p}-1}{8}=m$. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 13-07-2013 - 11:48

[gogeta]

Bài 2 còn thiếu (4;4;2) nữa nhé! Còn ở câu 3 thì $3^{m-1}-1 \vdots m$ mà!