Các anh giúp em giải bài này với, em nghĩ mãi mà không ra.
\[a;b;c \in {R^ + };abc = 1\]. Prove that: \[\sum {\frac{1}{{b + c}} \le \frac{3}{2}} \]
\[a;b;c \in {R^ + };abc = 1\]. Prove that: \[\sum {\frac{1}{{b + c}} \le \frac{3}{2}} \]
Bắt đầu bởi Love XXX, 12-07-2013 - 17:00
#2
Đã gửi 13-07-2013 - 10:28
AM GM
-
- Thành viên
-
- 54 Bài viết
Hạ sĩ
đề sai với a = $\frac{9}{25}$; b=36 ; c=$\frac{25}{324}$
#3
Đã gửi 13-07-2013 - 11:17
letankhang
-
- Thành viên
-
- 1079 Bài viết
$\sqrt{MF}'s$ $member$
Các anh giúp em giải bài này với, em nghĩ mãi mà không ra.
\[a;b;c \in {R^ + };abc = 1\]. Prove that: \[\sum {\frac{1}{{b + c}} \le \frac{3}{2}} \]
Hình như phải có thêm điều kiện $a+b+c=3$ hay $\leq 3$ nữa thì phải! @@
Ta có:
$A=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\leq \frac{1}{2\sqrt{ab}}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{1}{2\sqrt{ca}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{2}$
$=>A^{2}\leq (\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{2})^{2}=\frac{a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}}{4}\leq \frac{a+b+c+a+b+b+c+c+a}{4}= \frac{3(a+b+c)}{4}$
Nếu $a+b+c=3$ hay $\leq 3$ thì tới đây dễ rồi, bạn xem lại đề thử coi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 13-07-2013 - 11:27
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
#4
Đã gửi 13-07-2013 - 11:31
dinhthanhhung
-
- Thành viên
-
- 111 Bài viết
Trung sĩ
Hình như phải có thêm điều kiện $a+b+c=3$ hay $\leq 3$ nữa thì phải! @@
Ta có:
$A=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\leq \frac{1}{2\sqrt{ab}}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{1}{2\sqrt{ca}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{2}$
$=>A^{2}\leq (\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{2})^{2}=\frac{a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}}{4}\leq \frac{a+b+c+a+b+b+c+c+a}{4}= \frac{3(a+b+c)}{4}$
Nếu $a+b+c=3$ hay $\leq 3$ thì tới đây dễ rồi, bạn xem lại đề thử coi
Nếu có thêm điều kiệm như bạn nói thì chỉ có a=b=c=1 thoả mãn , thật vậy vì 3>=a+b+c>=3 (abc=1)
#5
Đã gửi 13-07-2013 - 15:46
Best Friend
-
- Thành viên
-
- 99 Bài viết
Hạ sĩ
Nếu mà có thêm dk $a+b+c\leq 3$ thì lại dễ quá.
Vì $abc=1\Rightarrow a+b+c\geq 3\Rightarrow a+b+c=3$
Ta có : Áp dụng BĐT AM-GM :
$\sum \frac{1}{a+b}\leq \frac{1}{4}\sum \left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=\frac{1}{2}(ab+bc+ac)\leq \frac{1}{6}(a+b+c)^{2}=\frac{3}{2}$
Dấu = xảy ra ..........
Best Friend
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
