Chủ đề này có 4 trả lời

[Leorick King]

Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) đường cao AP. Gọi Q là điểm trên cạnh BC sao cho góc BAQ = góc CAP. Gọi R là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với AQ. Từ C vẽ CH vuông góc AQ; CK vuông góc BR. Chứng minh HK đi qua trung điểm của BC

[Juliel]

Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) đường cao AP. Gọi Q là điểm trên cạnh BC sao cho góc BAQ = góc CAP. Gọi R là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với AQ. Từ C vẽ CH vuông góc AQ; CK vuông góc BR. Chứng minh HK đi qua trung điểm của BC

 

Bài giải :

Gọi $(O)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Gọi $J$ là giao điểm của $AP$ với $(O)$

Theo giả thiết :

$\widehat{CAP}=\widehat{BAQ}$ hay $\widehat{CAJ}=\widehat{BAR}$

Suy ra $JC = BR$

Suy ra $BCRJ$ là hình thang cân

$\Rightarrow BC//JR\Rightarrow AJ\perp JR$ (Do $AJ\perp BC$)

Do đó $AR$ là đường kính của $(O)$

Gọi $M$ là giao điểm của $HK$ với $BC$. Để chứng minh $M$ là trung điểm của $BC$ thì do tam giác $BKC$ vuông tại $K$, ta chỉ cần chứng minh tam giác $BMK$ cân tại $M$.

Thật vậy,

$\widehat{KBC}=\widehat{RAC}$ (cùng chắn cung $RC$)

 

Do $AK$ là đường kính của $(O)$ nên tam giác $ACR$ vuông tại $C$ có đường cao $CH$ :

$\widehat{HCR}=\widehat{RAC}$ (cùng phụ $\widehat{ARC}$ )

$\widehat{HCR}=\widehat{MKB}$ (tứ giác $HCKR$ nội tiếp)

Suy ra : $\widehat{KBC}=\widehat{MKB}$

Do đó tam giác $BMK$ cân tại $M$

Ta có đ.p.c.m

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 12-07-2013 - 20:32

[Leorick King]

thank nhiều! quá hay

[KhacHieua12]

Giải hệ pt sau

$\left\{\begin{matrix}(4x^2-4xy+4y^2-51)(x-y)^2+3=0 & \\ (2x-7)(x-y)+1=0 & \end{matrix}\right.$

[forgetmenot33]

Cho đường tròn tâm O đường kính AB =2R. Gọi M là một điểm nằm trên đường tròn (O) sao cho AM = R; C là một điểm tùy ý trên đoạn OB ( C khác B). Đường thẳng qua C và vuông góc với AB lần lượt cắt các đường thẳng MA, MB tại K và H.
a/ Chứng minh : tứ giác AMHC nội tiếp

b/ Tính độ dài đoạn BM và diện tích tam giác MAB theo R
c/ Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M cắt CK tại I. Chứng minh : tam giác MIH đều
d/ Các đường thẳng KB và MC cắt đường tròn (O) lần lượt E và F. Chứng minh : EF// KC

Giúp mjh nha!