Cho a1,a2,...an là các số dương có tích bằng 1.
tìm GTNN của biểu thức $D=\sqrt{1+\frac{1}{a_{1}}}+\sqrt{1+\frac{1}{a_{2}}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{a_{n}}}$
Bài tập tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức lớp 9
Bắt đầu bởi kldlkvipmath, 12-07-2013 - 20:14
#2
Đã gửi 12-07-2013 - 21:15
badatmath
-
- Thành viên
-
- 51 Bài viết
Hạ sĩ
Cho a1,a2,...an là các số dương có tích bằng 1.
tìm GTNN của biểu thức $D=\sqrt{1+\frac{1}{a_{1}}}+\sqrt{1+\frac{1}{a_{2}}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{a_{n}}}$
$a_{1}.a_{2}.a_{3}....a_{n}=1$
Ta có $\sqrt{1+\frac{1}{a_{1}}}=\sqrt{a_{1}.a_{2}.a_{3}....a_{n}+\frac{1}{a_{1}}}\geq \sqrt{2.\sqrt{a_{2}.a_{3}....a_{n}}}$ (Áp dụng BĐT Cô si )
Biến đổi tương tự thì $D\geq \sqrt{2.\sqrt{a_{2}.a_{3}....a_{n}}}+\sqrt{2.\sqrt{a_{1}.a_{3}....a_{n}}}+...+ \sqrt{2.\sqrt{a_{1}.a_{2}....a_{n-1}}}$
$D\geq \sqrt{2}.(\sqrt[4]{a_{2}.a_{3}....a_{n}}+\sqrt[4]{a_{1}.a_{3}....a_{n}}+...+\sqrt[4]{a_{1}.a_{2}....a_{n-1}})$
Tiếp tục áp dụng BĐT Cô si
D $\geq \sqrt{2}.n.\sqrt[n]{\sqrt[4]{(a_{1}.a_{2}.....a_{n})^{n-1}}}$$\geq \sqrt{2}n.$
Dấu "=" xảy ra khi $a_{1}=a_{2}=a_{3}=...=a_{n}=1$
- trandaiduongbg yêu thích
Hãy xem những vấn đề trong cuộc sống như là một bài toán cực trị :Ta phải tìm được được một cách làm ngắn nhất sao cho tỉ lệ đạt được thành công là Max còn tỉ lệ thất bại là Min
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
