Cho các số a,b,c > 1 thỏa mãn: $\frac{1}{a^{2}-1}+\frac{1}{b^{2}-1}+\frac{1}{c^{2}-1}=1$. CMR: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\leq 1$
$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\leq 1$
#1
Đã gửi 12-07-2013 - 20:15
Thà đừng yêu để giữ mình trong trắng
Lỡ yêu rôì nhất quyết phải thành công
#2
Đã gửi 12-07-2013 - 21:06
$\frac{1}{a^2-1} = \frac{1}{2} ( \frac{1}{a-1}-\frac{1}{a+1})$
Suy ra : $\sum_{a,b,c} ( \frac{1}{a-1} -\frac{1}{a+1}) = 2 $
Mặt khác : $\frac{1}{a-1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1} \geq \frac{9}{a+1}$
Từ đẳng thức và bất đẳng thức dễ dàng suy ra điều phải chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 12-07-2013 - 21:15
- cool hunter, WhjteShadow và etucgnaohtn thích
#3
Đã gửi 12-07-2013 - 21:26
Ta sử dung BDT chebyshev với phương pháp chứng minh bằng phản chứng. Nói cách khác, ta sẽ chứng minh rằng, nếu các số thực a,b,c thỏa mãn:
$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}= 1$
thì BDT sau luôn đúng:
$\frac{1}{a^2-1}+\frac{1}{b^2-1}+\frac{1}{c^2-1}\geq 1$
thật vậy, từ giả thiết suy ra: $\sum \frac{a-2}{a+1}= 0$ (*)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\sum \frac{4-a^2}{a^2-1}\geq 0$
$\Leftrightarrow \sum \frac{a-2}{a+1}.\frac{a+2}{a-1}\leq 0$
chú ý rằng nếu a$\geq b\geq c$ thì
$\frac{a-2}{a+1}\geq \frac{b-2}{b+1}\geq \frac{c-2}{c+1}$
$\frac{a+2}{a-1}\leq \frac{b+2}{b-1}\leq \frac{c+2}{c-1}$
Do đó ta chỉ cần áp dụng bất đẳng thức chebyshev cho 2 bộ nguợc chiều nói trên và chú ý điều kiện (*) ta có điều phải chứng minh. đẳng thức xảy ra khi a=b=c=2
p.s; mình lấy nguyên trong sáng tạo bất đẳng thức ra luôn.. để nhiều bạn ko có sách có thể tham khảo nha
- WhjteShadow yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh