Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\leq 1$

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
cool hunter

cool hunter

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 544 Bài viết

Cho các số a,b,c > 1 thỏa mãn: $\frac{1}{a^{2}-1}+\frac{1}{b^{2}-1}+\frac{1}{c^{2}-1}=1$. CMR: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\leq 1$


Thà đừng yêu để giữ mình trong trắng

Lỡ yêu rôì nhất quyết phải thành công

                                                                 


#2
PRONOOBCHICKENHANDSOME

PRONOOBCHICKENHANDSOME

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

$\frac{1}{a^2-1} = \frac{1}{2} ( \frac{1}{a-1}-\frac{1}{a+1})$

Suy ra : $\sum_{a,b,c} ( \frac{1}{a-1} -\frac{1}{a+1}) = 2 $

Mặt khác : $\frac{1}{a-1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1} \geq \frac{9}{a+1}$

Từ đẳng thức và bất đẳng thức dễ dàng suy ra điều phải chứng minh  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 12-07-2013 - 21:15


#3
hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết

Ta sử dung BDT chebyshev với phương pháp chứng minh bằng phản chứng. Nói cách khác, ta sẽ chứng minh rằng, nếu các số thực a,b,c thỏa mãn: 

   $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}= 1$

thì BDT sau luôn đúng:

   $\frac{1}{a^2-1}+\frac{1}{b^2-1}+\frac{1}{c^2-1}\geq 1$

 

thật vậy, từ giả thiết suy ra: $\sum \frac{a-2}{a+1}= 0$        (*)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

 $\sum \frac{4-a^2}{a^2-1}\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a-2}{a+1}.\frac{a+2}{a-1}\leq 0$

chú ý rằng nếu a$\geq b\geq c$ thì

              $\frac{a-2}{a+1}\geq \frac{b-2}{b+1}\geq \frac{c-2}{c+1}$

              $\frac{a+2}{a-1}\leq \frac{b+2}{b-1}\leq \frac{c+2}{c-1}$

Do đó ta chỉ cần áp dụng bất đẳng thức chebyshev cho 2 bộ nguợc chiều nói trên và chú ý điều kiện  (*) ta có điều phải chứng minh. đẳng thức xảy ra khi a=b=c=2

 

p.s; mình lấy nguyên trong sáng tạo bất đẳng thức ra luôn.. để nhiều bạn ko có sách có thể tham khảo nha






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh