Chủ đề này có 3 trả lời

[viendanho98]

cho x,y khác 0 và (x+y+1)xy=$x^2+y^2$

 

tim max $A=\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viendanho98: 13-07-2013 - 00:05

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

Đặt $x + y = S; xy = P \, (S^2 \geq 4P)$

Theo giả thiết: 

$(S + 1)P = S^2 - 2P \Leftrightarrow S^2 - 3P = PS \Leftrightarrow S^2 = P(S + 3) \geq 4P\, (\bigstar)$

Ta có:

$A = \dfrac{1}{x^3} + \dfrac{1}{y^3} = \dfrac{x^3 + y^3}{x^3y^3} = \dfrac{S^3 - 3PS}{P^3}$

 

$A = \dfrac{S(S^2 - 3P)}{P^3} = \left ( \dfrac{S}{P} \right )^2 = \left ( \dfrac{S(S + 3)}{S^2}\right )^2$

 

$A = \left ( \dfrac{S + 3}{S}\right )^2 = \left (1 + \dfrac{3}{S} \right )^2$ 

 

- Nhận xét:

+ Nếu $S \leq 0 \Rightarrow A \leq 1$

+ Nếu $S > 0$, từ $(\bigstar) \Rightarrow P \geq 0$. Khi đó: $S \geq 1$.

Do đó: $A \leq (1 + 3)^2 = 16$

Kết luận: Vậy $A_{max} = 16$. Dấu “=” xảy ra khi $x = y = \dfrac{1}{2}$

Anh không giỏi phần này lắm đâu! Có sai thì thôi nhé

 

[Ha Manh Huu]

 

Giải

Đặt $x + y = S; xy = P \, (S^2 \geq 4P)$

Theo giả thiết: 

$(S + 1)P = S^2 - 2P \Leftrightarrow S^2 - 3P = PS \Leftrightarrow S^2 = P(S + 3) \geq 4P\, (\bigstar)$

Ta có:

$A = \dfrac{1}{x^3} + \dfrac{1}{y^3} = \dfrac{x^3 + y^3}{x^3y^3} = \dfrac{S^3 - 3PS}{P^3}$

 

$A = \dfrac{S(S^2 - 3P)}{P^3} = \left ( \dfrac{S}{P} \right )^2 = \left ( \dfrac{S(S + 3)}{S^2}\right )^2$

 

$A = \left ( \dfrac{S + 3}{S}\right )^2 = \left (1 + \dfrac{3}{S} \right )^2$ 

 

- Nhận xét:

+ Nếu $S \leq 0 \Rightarrow A \leq 1$

+ Nếu $S > 0$, từ $(\bigstar) \Rightarrow P \geq 0$. Khi đó: $S \geq 1$.

Do đó: $A \leq (1 + 3)^2 = 16$

Kết luận: Vậy $A_{max} = 16$. Dấu “=” xảy ra khi $x = y = \dfrac{1}{2}$

Anh không giỏi phần này lắm đâu! Có sai thì thôi nhé

 

em thấy nếu S=0,5 >0 thì P<0 vẫn đúng mà

[Phạm Hữu Bảo Chung]

@HaManhHuu:
Do $S^2 = P(S + 3)$ nên $S > 0 \Rightarrow P > 0$