Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic về toán cực trị hình học


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 30 trả lời

#1 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 14-07-2013 - 09:21

Topic về toán cực trị hình học

 

 

                                                                             

geo1.jpg

 

 

 

I.TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC LÀ GÌ?

 

Đó là những bài toán có dạng sau:

Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của một đại lượng hình học $y$ (độ dài của một đoạn thẳng, tổng của hai hay nhiều đoạn thẳng, độ lớn của một góc, chu vi của một hình, diện tích của một hình v.v...) sao cho:

$$y_{1}\leq y \leq y_{2}$$

Trong đó $y_{1},y_{2}$ là các giá trị cố định hoặc không thay đổi của $y$ đồng thời phải chỉ rõ vị trí hình học của $y$ (hoặc hình có chứa $y$ ) để tại đó $y$ đạt giá trị cực tiểu $y=y_{1}$ hoặc cực đại $y=y_{2}$.

 

 

II. ĐƯỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC

 

Căn cứ vào đầu bài, người ta thường giải toán cực trị trong hình học theo ba cách sau đây:

·  Cách 1:

Vẽ một hình có chứa đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị, thay các điều kiện của đại lượng đó bằng các điều kiện tương đương (có khi phải chọn một đại lượng nào đó trong hình làm ẩn số, dựa vào mối quan hệ giữa ẩn số đó với các đại lượng khác trong hình, những đại lượng này có thể do đầu bài cho sẵn, nhưng cũng có thể do ta làm xuất hiện trong quá  trình  đi tìm lời giải của bài toán. Biểu thị ẩn số theo các đại lượng đã biết, các đại lượng không đổi rồi biến đổi tương đương biểu thức vừa tìm được để cuối cùng xác định được giá trị của đại lượng cần tìm từ đó suy ra vị trí của hình để đạt cực trị).

Người ta thường dùng cách này khi đầu bài được cho dưới dạng: "Tìm một hình nào đó thỏa mãn các điều kiện cực trị của bài toán"

 

 

·  Cách 2:

Đưa ra một hình (theo yêu cầu đầu bài) rồi chứng minh mọi hình khác có chứa yếu tố (mà ta phải tìm cực trị) lớn hơn hoặc bé hơn yếu tố tương ứng trong hình đã đưa ra.

Người ta thường dùng cách chứng minh này khi hình dạng của hình có cực trị đã được nói rõ trong đầu bài.

 

* Chú ý quan trọng:

1. Có trường hợp để tìm cực trị của một đại lượng A, ta chia A thành tổng của nhiều đại lượng khác: A = B + C + ... rồi đi tìm cực trị của B và C... từ đó suy ra cực trị của A, ta cần chứng minh: Khi B đạt cực trị thì C cũng đồng thời đạt cực trị và ngược lại.

 

III. CÁCH VẬN DỤNG CÁC KIẾN THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ

 

    1.     BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC

 

         Với 3 điểm bất kỳ $A,B,C$ ta luôn có

$$\boxed{AB+AC\geq BC}$$.

Dấu bằng xảy ra khi $A$ thuộc $BC$

 

           2. ĐƯỜNG VU​ÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN

 

         $\boxed{1}$. Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn vuông góc với đường thẳng có độ dài ngắn nhất.

  $\boxed{2}$. Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm tới một đường thẳng, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại.

 

   

      3. ĐỘ DÀI ĐƯỜNG GẤP KHÚC

 

Độ dài đường gấp khúc nối hai điểm không nhỏ hơn  độ dài đoạn thẳng nối hai điểm đó.

 

 

4.Sử dụng các BĐT kinh điển và phương pháp biến đổi đại số

 

 

1. BĐT Cauchy và một số hệ quả

 

2. BĐT Cauchy-Schwarz 

 

 

5.Sử dụng các tính chất sau:

 

 

$\boxed{1}$    Nếu 2 tam giác có 2 cặp cạnh tương ứng bằng nhau từng đôi một thì trong 2 cạnh còn lại cạnh đối diện với góc lớn hơn thi lớn hơn và ngược lại

 

$\boxed{2}$   Trong 1 tam giác trung tuyến ứng với cạnh bé thì lớn hơn trung tuyến ứng với cạnh lớn.

 

 

$\boxed{3}$    Nếu tam giác cân có góc ở đỉnh không đổi thì cạnh cạnh đáy nhỏ nhất khi cạnh bên nhỏ nhất, cạnh đáy lớn nhất khi cạnh bên lớn nhất.

 

 

 

 

6.Một số ví dụ

 

$\boxed{1}$ Cho tam giác ABC nhọn.Tìm vị trí của M,N,P trên AB,BC,CA sao cho $MN+NP+PM$ đạt MIN

 

Lời giải

10509715_294332980728450_170403744076390

 

 

Giả sử tam giác $MNP$ có $M$ thuộc $BC$; $N$ thuộc $AB$; $P$ thuộc AC.

Với điểm $M$ cho trước gọi $E,F$ lần lượt là các điểm đối xứng  với $M$ qua $AB$ và $AC$.

Thì : $MN=ME$;

         $MP=PF$

$\Rightarrow P_{MNP}=EN+NP+PF\geq EF$

Vậy ta cần tìm vị trí của $M$ để $EF$ có độ dài nhỏ nhất.

Lại có theo tính chất đối xứng thì

        $AE=AF$ (cung bằng $AM$)

        $\widehat{MAC}=\widehat{CAF}$ 

        $\widehat{EAB}=\widehat{BAM}$

$\Rightarrow \widehat{EAF}=2\widehat{BAC}$ (Không đổi)

Tam giác $EAF$ cân ở $A$ có góc $EAF$ không đổi nên $EF min\Leftrightarrow AE min\Leftrightarrow AM min$

Kẻ $AH$ vuông góc $BC$ thì $AM\geq AH$ nên Min $AM=AH$ khi $M$ trùng $H$ khi $EF$ cắt $AB,AC$ tại $N,P$. Ta dễ dàng chứng minh được $N,P$ là chân đường cao hạ từ $B,C$ đến $AB,AC$.

 

Vậy chu vi $AMP$ nhỏ nhất khi có 3 điểm $M,N,P$ là chân 3 đương cao. 

 

1012305_122606927950239_1909217291_n.jpg

 

7.Bài tập đề nghị

 

Bài 1:Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, đường cao $AH$ và cạnh $BC=2a$. Một đường thưủng $d$ bất kỳ qua $A$ không cắt cạnh $BC$. Gọi $I,K$ lần lượt là hình chiếu của $B,C$ trên đường thẳng $d$. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $IHK$

 

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ nhọn có $H$ là trực tâm của tam giác. Chứng minh

$HA+HB+HC<\frac{2}{3}(AB+BC+CA)$

 

Lưu ý : Mỗi bài viết phải theo thứ tự có đánh dấu số bài,không được spam. Mọi bài viết vi phạm sẽ bị xóa.

 

 

 

 

 

         

     


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yagami Raito: 28-06-2014 - 09:28

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#2 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 14-07-2013 - 10:09



 

1.Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, đường cao $AH$ và cạnh $BC=2a$. Một đường thưủng $d$ bất kỳ qua $A$ không cắt cạnh $BC$. Gọi $I,K$ lần lượt là hình chiếu của $B,C$ trên đường thẳng $d$. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $IHK$


 

 

Bài 1

Banve.1.JPG

Bài giải :

$\widehat{AHC}=\widehat{AKC}=90^{\circ}$ $(gt)$ 

$\Rightarrow \widehat{AHC}+\widehat{AKC}=180^{\circ}$

Suy ra $AKCH$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{HKI}=\widehat{BCA}=45^{\circ}$

Tương tự : $\Rightarrow \widehat{HIK}=\widehat{CBA}=45^{\circ}$

Mà $\widehat{BCA}+\widehat{CBA}=90^{\circ}$

Suy ra $\widehat{HIK}+\widehat{HKI}=90^{\circ}$

Suy ra Tam giác $HIK$ vuông tại $H$ 

Lại có $\widehat{HIK}=45^{\circ}$ $(cmt)$ nên tam giác $HIK$ vuông cân tại $H$.

Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên :

$S_{HIK}=HI.HK=HI^{2}=\frac{IK^{2}}{2}\leq \frac{BC^{2}}{2}=2a^{2}$

$Max.S_{HIK}=2a^{2}\Leftrightarrow IK=BC=2a\Leftrightarrow d//BC$

 

 

P/s: Bài 2 đã ai chém đâu mà đăng bài 3 làm gì ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yagami Raito: 28-06-2014 - 09:29

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#3 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 15-08-2013 - 08:57

Bài 2: Vẽ dùm em cái hình

 

Tạm gọi $HE // AC$ ; $HD // AB$ => $AEHD$ : hình bình hành

 

Bất đẳng thức trong tam giác :

$HA < AE + EH = AE +AD$                        (1)

$HB < EB$  vì tam giác $HEB$ vuông tại H  (2)
$HC < DC$  vì tam giác $HDC$ vuông tại H  (3)

 

Cộng (1) ,(2) và (3) vế theo vế => $HA + HB +HC <AB +AC$

 

C/m tương tự => $HA +HB +HC < AB+ BC$

                            $HA +HB +HC < AC+ BC$ 

 

=> $3.(HA + HB+HC) < 2(AB + AC +BC)$

=> ĐPCM

 

Em mới tham gia mong chỉ giáo :luoi:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yagami Raito: 28-06-2014 - 09:32

$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#4 Zimmi

Zimmi

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết

Đã gửi 15-10-2013 - 13:55

Bài 3

Tam giác ABC đều,cạnh a,M nằm trong tam giác,D,E,F là chân cá đường vuông góc từ m đến BC,CA,AB xác định VT M để

1)$\frac{1}{MD}+\frac{1}{ME}+\frac{1}{MF} min =?$

2)$\frac{1}{MD+ME}+\frac{1}{ME+MF}+\frac{1}{MF+MD} min =?$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yagami Raito: 28-06-2014 - 09:37


#5 trantuananh9a

trantuananh9a

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Tình Cương huyện Cẩm Khê tỉnh Phú Thọ
  • Sở thích:Thích toán

Đã gửi 04-12-2013 - 21:35

Tam giác ABC đều,cạnh a,M nằm trong tam giác,D,E,F là chân cá đường vuông góc từ m đến BC,CA,AB xác định VT M để

1)$\frac{1}{MD}+\frac{1}{ME}+\frac{1}{MF} min =?$

2)$\frac{1}{MD+ME}+\frac{1}{ME+MF}+\frac{1}{MF+MD} min =?$

Bài 3

không có hình vẽ nên mình sẽ nói nhanh cách làm

 đặt MD=x;NF=y;ME=z;

AB=BC=CÁ=a;

Ta có a(x+y+z)=2S$\Delta ABC$

$(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(x+y+z)a=a(3+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}) \geq 9a=>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$

min xảy ra khi x=y=z hay M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yagami Raito: 28-06-2014 - 09:37

Cực Ngu Hình


#6 trantuananh9a

trantuananh9a

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Tình Cương huyện Cẩm Khê tỉnh Phú Thọ
  • Sở thích:Thích toán

Đã gửi 05-12-2013 - 11:25

Bài 3.2

làm tương tự nhé ta được

$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\geq \frac{9}{2(x+y+z)}$

nhớ thay (x+y+z)*a=2$S_{\Delta ABC}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yagami Raito: 28-06-2014 - 09:37

Cực Ngu Hình


#7 Lighting God

Lighting God

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-03-2014 - 14:26

Bài 4

Cho O là trung điểm AB( AB=2a), Trên nửa mặt phẳng AB, vẽ Ax và By vuông góc AB. Lấy M trên Ax sao cho góc AOM= \alpha ( \alpha < 90): C nằm trên tia By sao cho ON vuông góc OM. Xác định \alpha để diện tích tam giác OMN đạt GTNN. Tính Min?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yagami Raito: 28-06-2014 - 09:38


#8 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 07-05-2014 - 02:07

Cho O là trung điểm AB( AB=2a), Trên nửa mặt phẳng AB, vẽ Ax và By vuông góc AB. Lấy M trên Ax sao cho góc AOM= \alpha ( \alpha < 90): C nằm trên tia By sao cho ON vuông góc OM. Xác định \alpha để diện tích tam giác OMN đạt GTNN. Tính Min?

Bài 4

Ta có : $S_{OMN}=\dfrac{OM.ON}{2}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{OA}{cos \alpha}.\dfrac{OB}{sin \alpha}\geq \dfrac{1}{2}a^2.\dfrac{2}{(sin \alpha)^2+(cos \alpha)^2}=a^2$ (theo BDT cauchy $xy \leq (x^2+y^2)/2$
Dấu băg khi $\alpha= 45$ độ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yagami Raito: 28-06-2014 - 09:38

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#9 Son Phan

Son Phan

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10/1 THPT Chuyên Bắc Quảng Nam( dienban - quangnam)
  • Sở thích:Yêu toán học,ăn,ngủ và xem tivi

Đã gửi 03-08-2014 - 20:38

cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) . tìm M trên (O) để MA2+MB2+MC2 đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất


:lol:  :namtay Mountain :ukliam2:

 


#10 killerdark68

killerdark68

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 266 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:My house
  • Sở thích:Anime&Manga

Đã gửi 10-08-2014 - 10:49

cho $\triangle ABC$ đều nội tiếp đường tròn (O;R), M là điểm chuyển động trên cung nhỏ BC Trên MA lấy D sao cho MB=MD .Vẽ đường kính AE cắt BC tại H; MA cắt BC tại I.Xác định vị trí điểm M để :

1,$\frac{4}{3}AI+AM$ min

2,IA.IM max
3,$\frac{1}{MB}+\frac{1}{MA}+\frac{1}{MC}$ min
4,$\frac{1}{MB}+\frac{1}{MI}+\frac{1}{MC}$ min
5,$\frac{1}{MA}+\frac{1}{MB}+\frac{1}{MC}+\frac{1}{MI}$ min
6,$\frac{20}{MA}+\frac{11}{MI}+2014(\frac{1}{MB}+\frac{1}{MC})$ min

 

 

 

 



#11 duc15042000

duc15042000

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Địa Ngục
  • Sở thích:Thích xem phim, nghe nhạc, chơi game, và nhiều sở thích khác

Đã gửi 20-10-2014 - 19:03

1/Cho tam giác ABC vuông tại C và AC=b, BC=a, AB=c. Kẻ các trung tuyến AE,BF và AE=m, BF=n. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

a) Chứng minh $\frac{r^{2}}{m^{2}+n^{2}}< \frac{1}{20}$

b) Tìm max của $\frac{r^{2}}{m^{2}+n^{2}}$


Không có việc gì khó

Chỉ sợ tiền không nhiều

Đào núi và lấp bể

Không làm được thì thuê.

:botay  :botay  :botay  :botay 

 


#12 Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1533 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đức Thọ - Hà Tĩnh
  • Sở thích:Toán học và thơ

Đã gửi 17-04-2015 - 09:17

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn bán kính R và ngoại tiếp đường tròn bán kính r. Chứng minh rằng $R\geq r\sqrt{2}$



#13 olympiachapcanhuocmo

olympiachapcanhuocmo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 17-04-2015 - 19:09

 Các bạn hãy thử giải bài toán sau và cho ý kiến của mình về phương pháp giải nó !

File gửi kèm


                                                                                               


#14 Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1533 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đức Thọ - Hà Tĩnh
  • Sở thích:Toán học và thơ

Đã gửi 17-04-2015 - 23:19

Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c và chu vi a + b + c = k (không đổi). Tìm GTLN của $P=\frac{ab}{a+b+2c}+\frac{bc}{2a+b+c}+\frac{ca}{a+2b+c}$



#15 an1907

an1907

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10A trường THPT Hồng Lĩnh tỉnh Hà Tĩnh
  • Sở thích:đọc sách, khám phá khoa học

Đã gửi 29-08-2015 - 17:55

Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c và chu vi a + b + c = k (không đổi). Tìm GTLN của $P=\frac{ab}{a+b+2c}+\frac{bc}{2a+b+c}+\frac{ca}{a+2b+c}$

$\frac{ab}{a + b + 2c} = \frac{ab}{\left ( a + c \right ) + \left ( b + c \right )} \leq \frac{1}{4}\left ( \frac{ab}{a + c} + \frac{ab}{b + c} \right )$

Tương tự cộng 3 vế lại ta dc : $P \leq \frac{1}{4}\left ( \frac{b\left ( a + c \right )}{a + c} + \frac{a\left ( b + c \right )}{b + c} + \frac{c\left ( a + b \right )}{a + b} \right ) \leq \frac{a + b + c}{4} = \frac{k}{4}$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$



#16 an1907

an1907

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10A trường THPT Hồng Lĩnh tỉnh Hà Tĩnh
  • Sở thích:đọc sách, khám phá khoa học

Đã gửi 29-08-2015 - 17:59

Cho tam giác $ABC, I$ là tâm đường tròn nội tiếp. $AI, BI, CI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại $P, Q, R$. Chứng minh $AP + BQ + CR > AB + BC + CA$



#17 an1907

an1907

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10A trường THPT Hồng Lĩnh tỉnh Hà Tĩnh
  • Sở thích:đọc sách, khám phá khoa học

Đã gửi 29-08-2015 - 18:02

Cho điểm $P$ trong đường tròn $O$. Trong tất cả các tứ giác nội tiếp đường tròn có 2 đường chéo $AC và BD$ vuông góc với nhau tại $P$, xác định tứ giác có chu vi lớn nhất



#18 hoangtulaihz

hoangtulaihz

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-09-2015 - 15:03

cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn có bán kính R=2. Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tam giác ?


If you dream without acting, you''be the loser.

:like  :excl:  :icon10:  :luoi: 


#19 thanhnhan205

thanhnhan205

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 16-12-2015 - 20:18

Cho (O ; R) đựng đường tròn (O’; R’) sao cho điểm O nằm trên (O’). Một dây cung AB của (O) di động và tiếp xúc với (O’) tại C. Hãy xác định vị trí của dây AB để AC^2 + BC^2 đạt giá trị nhỏ nhất.

#20 hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp lang tận cùng!
  • Sở thích::( :3

Đã gửi 18-12-2015 - 20:33

Cho tam giác ABC có các cạnh là a,b,c. M là điểm nằm trong tam giác; x,y,z là khoảng cách từ M đến BC,AC,AB. Xác định vị trí điểm M để

a/x + b/y + c/z đạt giá trị lớn nhất


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh