Chủ đề này có 8 trả lời

[caybutbixanh]

Bài 1:

1,Tìm một hàm số bậc hai để đồ thị của nó có trục đối xứng là đường thẳng $x=2$ đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng $y=-1$ và $y=2x-7.$

2, giải phương trình :$\sqrt {4-3 \sqrt{10-3x}}= x-2.$

Bài 2:

1, Giải hệ phương trình :$\left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}+3y^{2}=7\\ x+2y(x+1)=5 \end{matrix}\right.$

2,Giải và biện luận bất phương trình :$\frac{x^{2}-2(m-1)x+m^{2}+2m}{\sqrt{-x^{2}+3x-2}}< 0$

Bài 3:

1, Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A(2;0)$ và đường thẳng $(\Delta):y+2=0.$ Tìm trên đường thẳng $(\Delta)$ điểm $M$ sao cho $OM+MA$ ngắn nhất.

2, Trong mặt phẳng $Oxy$, cho 3 điểm $A(1;-2); B(5;-3) và C(2;0).$ Tìm phương trình đường thẳng $(d)$ qua điểm $C$ và có khoảng cách từ $(d)$ đến $B$ bằng 3 lần khoảng cách $(d)$ đến $A.$

Bài 4 :

1, Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $x+y=1.$ Tìm min :$\sqrt{x^{2}+y^{2}+4x-2y+5}$

2, Cho hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x+y+2m-15=0\\ \sqrt{9-x}+\sqrt{9-y}=2m+1 \end{matrix}\right.$

Tìm $m$ đề hệ có nghiệm $(x;y).$

Bài 5:

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng :

$\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}\geqslant ab+bc+ca.$

Dấu "=" xảy ra khi nào ?

[Vu Thuy Linh]

Bài 2:

1, Giải hệ phương trình :$\left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}+3y^{2}=7\\ x+2y(x+1)=5 \end{matrix}\right.$

 

$\left \ x^{2}+4y^{2}+2xy=7; x+2y+2xy=5 \Leftrightarrow (x+2y)^{2}-2xy=7;(x+2y)+2xy=5$

Đặt x + 2y = a và 2xy = b. Ta có hệ:

$a^{2}-b=7$

$a+b=5$

$\Leftrightarrow a^{2}+a-12=0\Rightarrow a=3\cup a=-4 ......$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vu Thuy Linh: 14-07-2013 - 21:20

[Vu Thuy Linh]

 

Bài 5:

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng :

$\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}\geqslant ab+bc+ca.$

Dấu "=" xảy ra khi nào ?

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{a+1}{b^{2}+1}=(a+1)-\frac{b^{2}(a+1)}{b^{2}+1}\geq a+1-\frac{ab+b}{2b}$

CMTT ta có:

$VT\geq 3+\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}$

Mà a + b + c = 3 $=>2(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}=9=>ab+bc+ca\leq 3$

=>$VT\geq 3\geq ab+bc+ca$

dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vu Thuy Linh: 14-07-2013 - 21:35

[DarkBlood]

Bài 5:

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng :

$\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}\geqslant ab+bc+ca.$

Dấu "=" xảy ra khi nào ?

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$$\dfrac{a+1}{b^2+1}=a+1-\dfrac{b^2(a+1)}{b^2+1}\geq a+1-\dfrac{b^2(a+1)}{2b}=a+1-\dfrac{ab+b}{2}$$

Chứng minh tương tự, ta có:

$$\dfrac{b+1}{c^2+1}\geq b+1-\dfrac{bc+c}{2}$$

$$\dfrac{c+1}{a^2+1}\geq c+1-\dfrac{ca+a}{2}$$

Do đó $$\sum \dfrac{a+1}{b^2+1}\geq \sum a+3-\dfrac{\sum ab+\sum a}{2}=\dfrac{9}{2}-\dfrac{\sum ab}{2}$$

Vì vậy cần chứng minh $$\dfrac{9}{2}-\dfrac{\sum ab}{2}\geq \sum ab$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{3}{2} \sum ab\leq \dfrac{9}{2}$$

$$\Leftrightarrow \sum ab\leq 3$$

$$\Leftrightarrow 3\sum ab\leq \left ( \sum a \right )^2\ \ \ (\text{Luôn đúng})$$

Vậy $\sum \dfrac{a+1}{b^2+1}\geq \sum ab$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 14-07-2013 - 21:36

[Vu Thuy Linh]

Bài 4 :

1, Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $x+y=1.$ Tìm min :$\sqrt{x^{2}+y^{2}+4x-2y+5}$

 

BT = $\sqrt{(x+2)^{2}+(y-1)^{2}}\geq \frac{x+2+y-1}{\sqrt{2}}=\frac{x+y+1}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vu Thuy Linh: 14-07-2013 - 21:52

[banhgaongonngon]

Bài 2:

1. Giải hệ phương trình :$\left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}+3y^{2}=7\\ x+2y(x+1)=5 \end{matrix}\right.$

 

$\left\{\begin{matrix} (x+2y)^{2}-2xy=7\\ x+2y+2xy=5 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+2y=5-2xy\\ (x+2y)^{2}+(x+2y)-12=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy=1\\ x+2y=3 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=3-2y\\ y(3-2y)=1 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=1 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

[caybutbixanh]

 

Bài 4 :

1, Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $x+y=1.$ Tìm min :$\sqrt{x^{2}+y^{2}+4x-2y+5}$

 

 

BT = $\sqrt{(x+2)^{2}+(y-1)^{2}}\geq \frac{x+2+y-1}{\sqrt{2}}=\frac{x+y+1}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}$

Trong cách sử dụng BĐT trên dấu bằng xảy ra khi :$\left\{\begin{matrix} x+2=y-1\\ x+y=1 \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-1\\ y=2 \end{matrix}\right.$( kết hợp với cả giả thiết)

Tuy nhưng theo giả thiêt thì x,y, là các số dương .Vậy bài làm trên chưa đúng rồi ....

[caybutbixanh]

Bài 1:

 

2, giải phương trình :$\sqrt {4-3 \sqrt{10-3x}}= x-2.$ (1)

 

 

Lời giải:

đk: $\left\{\begin{matrix} 10-3x\geqslant 0\\ 4-3\sqrt{10-3x}\geqslant 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leqslant \frac{10}{3}\\ \sqrt{10-3x}\leqslant \frac{4}{3} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \frac{74}{27}\leqslant x\leqslant \frac{10}{3}$

 

$(1)\Leftrightarrow4-3\sqrt{10-3x}=x^{2}-4x+4\\ \Leftrightarrow 9(10-3x)=(x^{2}-4x)^{2}\\ \Leftrightarrow x^{4}-8x^{3}+16x^{2}+27x-90=0\\ \Leftrightarrow (x+2).(x-3).(x^{2}-7x+15)=0\\ \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x+2=0\\ x-3=0\\ x^{2}-7x+15=0(vn) \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-2(L) \\ x=3 \end{bmatrix}$

 

Vậy :$\boxed{x=3}$

[Vu Thuy Linh]

Trong cách sử dụng BĐT trên dấu bằng xảy ra khi :$\left\{\begin{matrix} x+2=y-1\\ x+y=1 \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-1\\ y=2 \end{matrix}\right.$( kết hợp với cả giả thiết)

Tuy nhưng theo giả thiêt thì x,y, là các số dương .Vậy bài làm trên chưa đúng rồi ....

uk. Bạn cho lời giải đúng giúp mik đc ko?