Bài toán :
Cho các số thực dương $a$,$b$,$c$ thoả mãn $a+b+c=3$.
Chứng minh : $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 15-07-2013 - 09:04
Bài toán :
Cho các số thực dương $a$,$b$,$c$ thoả mãn $a+b+c=3$.
Chứng minh : $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 15-07-2013 - 09:04
"Nothing is impossible"
(Napoleon Bonaparte)
Bài toán :
Cho các số thực dương $a$,$b$,$c$ thoả mãn $a+b+c=3$.
Chứng minh : $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$
Spoiler
BĐT đã cho tương đương với
$$\frac{1}{2}-\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{c^2+a^2+2}\geq \frac{3}{4}$$
$$\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2+2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2+2}\geq \frac{3}{2}$$
$$\Leftrightarrow \sum \frac{(a+b)^2}{2(a^2+b^2+2)}+\sum \frac{(a-b)^2}{2(a^2+b^2+2)}\geq \frac{3}{2}$$
Áp dụng BĐTCauchy-Schwarz, ta có:
$$\sum \frac{(a+b)^2}{2(a^2+b^2+2)}\geq \frac{4(a+b+c)^2}{4(a^2+b^2+c^2)+12}=\frac{2(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6}$$
$$\sum \frac{(a-b)^2}{2(a^2+b^2+2)}\geq \frac{[(a-b)+(b-c)+(a-c)]^2}{4(a^2+b^2+c^2)+12}=\frac{2(a-c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6}$$
Cộng 2 BĐT này lại, ta có
$$VT\geq \frac{2(a+b+c)^2+2(a-c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6}$$
Do đó ta chỉ cần chứng minh
$$2(a+b+c)^2+2(a-c)^2\geq 3(a^2+b^2+c^2)+9=3(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2$$
Bằng cách khai triển, ta được BĐT này tương đương với
$$2(a-b)(b-c)\geq 0$$
BĐT hiển nhiên đúng nếu ta giả sử $a\geq b\geq c$
Kết thúc chứng minh
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
bất đẳng thức tương đương
$\sum \frac{1}{-a^{2}-b^{2}-2}\geq \frac{-3}{4}$
sư dụng bdt cauchy-schwart ta có
$\sum \frac{1}{-a^{2}-b^{2}-2}\geq \frac{9}{-2\left ( a^{2}-b^{2}-c^{2} \right )-6}$
$\geq \frac{9}{2\left ( -3 \right )-6}= \frac{-3}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhhoang30011999: 15-07-2013 - 10:06
Bài toán :
Cho các số thực dương $a$,$b$,$c$ thoả mãn $a+b+c=3$.
Chứng minh : $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$
Spoiler
Ta có:
BĐT tương đương
$\sum \frac{(a+b)^{2}}{(a+b)^{2}+\frac{2(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\geq \frac{3}{2}$
Áp dụng BCS ,ta cần chứng minh
:$\sum (a+b)^{2}+\sum \frac{2(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}}\leq 24\Leftrightarrow \sum (a-b)^{2}(\frac{1}{a^{2}+b^{2}}-\frac{1}{6})\geq 0$
Giả sử $a\geq b\geq c$
Nếu $a^{2}+b^{2}\leq 6\Rightarrow \blacksquare$
Nếu $a^{2}+b^{2}\leq 6\Rightarrow\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}\leq \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{2}= \frac{3}{4}\Rightarrow \blacksquare$
TLongHV
bất đẳng thức tương đương
$\sum \frac{1}{-a^{2}-b^{2}-2}\geq \frac{-3}{4}$
sư dụng bdt cauchy-schwart ta có
$\sum \frac{1}{-a^{2}-b^{2}-2}\geq \frac{9}{-2\left ( a^{2}-b^{2}-c^{2} \right )-6}$
$\geq \frac{9}{2\left ( -3 \right )-6}= \frac{-3}{4}$
Hình như sai rồi.BDT PHụ đó cần điều kiện 3 số không âm mà nếu bạn đổi dấu thế thì có lẽ là sai
bất đẳng thức tương đương
$\sum \frac{1}{-a^{2}-b^{2}-2}\geq \frac{-3}{4}$
sư dụng bdt cauchy-schwart ta có
$\sum \frac{1}{-a^{2}-b^{2}-2}\geq \frac{9}{-2\left ( a^{2}-b^{2}-c^{2} \right )-6}$
$\geq \frac{9}{2\left ( -3 \right )-6}= \frac{-3}{4}$
áp dụng giỏi nhỉ bạn số am cũng áp đc à @@~
tàn lụi
Cách này sai mà.Từ chỗ Bđt tương đương ý.Phải không bạn.
Đúng mà bạn $\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}\leq \frac{3}{4}\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+2}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{(a+b)^{2}}{(a+b)^{2}+\frac{2(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}$
Cái chỗ BĐT tương đương ý,chia cả tử và mẫu cho tử số,rồi nhân $(a+b)^{2}$ vào cả tử và mẫu mà
TLongHV
Tại Sao lại: $\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+2}\geq \frac{3}{2}$
À là nó thế vì
$\sum \frac{2}{a^{2}+b^{2}+2}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum (1-\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+2})\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+2}\geq \frac{3}{2}$
TLongHV
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh