Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
Strygwyr

Strygwyr

    Sk8er-boi

  • Thành viên
  • 272 Bài viết

Bài toán : 

Cho các số thực dương $a$,$b$,$c$ thoả mãn $a+b+c=3$.

Chứng minh : $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 15-07-2013 - 09:04

"Nothing is impossible"

(Napoleon Bonaparte)


#2
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết


Bài toán : 

Cho các số thực dương $a$,$b$,$c$ thoả mãn $a+b+c=3$.

Chứng minh : $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$

Spoiler

BĐT đã cho tương đương với 

$$\frac{1}{2}-\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{c^2+a^2+2}\geq \frac{3}{4}$$

$$\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2+2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2+2}\geq \frac{3}{2}$$

$$\Leftrightarrow \sum \frac{(a+b)^2}{2(a^2+b^2+2)}+\sum \frac{(a-b)^2}{2(a^2+b^2+2)}\geq \frac{3}{2}$$

Áp dụng BĐTCauchy-Schwarz, ta có:

$$\sum \frac{(a+b)^2}{2(a^2+b^2+2)}\geq \frac{4(a+b+c)^2}{4(a^2+b^2+c^2)+12}=\frac{2(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6}$$

$$\sum \frac{(a-b)^2}{2(a^2+b^2+2)}\geq \frac{[(a-b)+(b-c)+(a-c)]^2}{4(a^2+b^2+c^2)+12}=\frac{2(a-c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6}$$

Cộng 2 BĐT này lại, ta có

$$VT\geq \frac{2(a+b+c)^2+2(a-c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6}$$

Do đó ta chỉ cần chứng minh

$$2(a+b+c)^2+2(a-c)^2\geq 3(a^2+b^2+c^2)+9=3(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2$$

Bằng cách khai triển, ta được BĐT này tương đương với

$$2(a-b)(b-c)\geq 0$$

BĐT hiển nhiên đúng nếu ta giả sử $a\geq b\geq c$

Kết thúc chứng minh :)


"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#3
canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết

bất đẳng thức tương đương 

$\sum \frac{1}{-a^{2}-b^{2}-2}\geq \frac{-3}{4}$

sư dụng bdt cauchy-schwart ta có

$\sum \frac{1}{-a^{2}-b^{2}-2}\geq \frac{9}{-2\left ( a^{2}-b^{2}-c^{2} \right )-6}$

$\geq \frac{9}{2\left ( -3 \right )-6}= \frac{-3}{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhhoang30011999: 15-07-2013 - 10:06


#4
babystudymaths

babystudymaths

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Bài toán : 

Cho các số thực dương $a$,$b$,$c$ thoả mãn $a+b+c=3$.

Chứng minh : $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$

Spoiler

Ta có:

BĐT tương đương 

$\sum \frac{(a+b)^{2}}{(a+b)^{2}+\frac{2(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\geq \frac{3}{2}$

Áp dụng BCS ,ta cần chứng minh

:$\sum (a+b)^{2}+\sum \frac{2(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}}\leq 24\Leftrightarrow \sum (a-b)^{2}(\frac{1}{a^{2}+b^{2}}-\frac{1}{6})\geq 0$

Giả sử $a\geq b\geq c$

Nếu $a^{2}+b^{2}\leq 6\Rightarrow \blacksquare$

Nếu $a^{2}+b^{2}\leq 6\Rightarrow\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}\leq \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{2}= \frac{3}{4}\Rightarrow \blacksquare$


TLongHV


#5
nguyencuong123

nguyencuong123

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 587 Bài viết

bất đẳng thức tương đương 

$\sum \frac{1}{-a^{2}-b^{2}-2}\geq \frac{-3}{4}$

sư dụng bdt cauchy-schwart ta có

$\sum \frac{1}{-a^{2}-b^{2}-2}\geq \frac{9}{-2\left ( a^{2}-b^{2}-c^{2} \right )-6}$

$\geq \frac{9}{2\left ( -3 \right )-6}= \frac{-3}{4}$

Hình như sai rồi.BDT PHụ đó cần điều kiện 3 số không âm mà nếu bạn đổi dấu thế thì có lẽ là sai


    :icon12:  :icon12:  :icon12:   Bình minh tắt nắng trời vương vấn :icon12:  :icon12:  :icon12:       

      :icon12: Một cõi chơi vơi, ta với ta  :icon12:       

:nav: My Facebook  :nav:  

 


#6
Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết

bất đẳng thức tương đương 

$\sum \frac{1}{-a^{2}-b^{2}-2}\geq \frac{-3}{4}$

sư dụng bdt cauchy-schwart ta có

$\sum \frac{1}{-a^{2}-b^{2}-2}\geq \frac{9}{-2\left ( a^{2}-b^{2}-c^{2} \right )-6}$

$\geq \frac{9}{2\left ( -3 \right )-6}= \frac{-3}{4}$

áp dụng giỏi nhỉ bạn số am cũng áp đc à @@~


tàn lụi


#7
babystudymaths

babystudymaths

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Cách này sai mà.Từ chỗ Bđt tương đương ý.Phải không bạn.

Đúng mà bạn $\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}\leq \frac{3}{4}\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+2}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{(a+b)^{2}}{(a+b)^{2}+\frac{2(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}$

Cái chỗ BĐT tương đương ý,chia cả tử và mẫu cho tử số,rồi nhân $(a+b)^{2}$ vào cả tử và mẫu mà 


TLongHV


#8
babystudymaths

babystudymaths

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Tại Sao lại: $\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+2}\geq \frac{3}{2}$

À là nó thế vì

$\sum \frac{2}{a^{2}+b^{2}+2}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum (1-\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+2})\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+2}\geq \frac{3}{2}$


TLongHV





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh