Chủ đề này có 1 trả lời

[chrome98]

 1. Cho $a,b,c\in\mathbb{R^+}$ và $a+b+c=\sqrt[3]{2}$. Các em học sinh không được dùng dồn biến, hãy chứng minh rằng:

\[ \dfrac{a^2}{4a+1}+\dfrac{b^2}{4b+1}+\dfrac{c^2}{4c+1}\le \dfrac{1}{32(ab+bc+ac)}+\dfrac{7-2\sqrt[3]{2}}{16\sqrt[3]{4}+4\sqrt[3]{2}} \]

 

 

 

[Strygwyr]

 1.Cho $a,b,c\in \mathbb{R^{+}}$ và $a+b+c=\sqrt[3]{2}$.

Chứng minh rằng :

$\sum \frac{a^{2}}{4a+1}\leq \frac{1}{32\sum ab}+\frac{7-2\sqrt[3]{2}}{16\sqrt[3]{4}+4\sqrt[3]{2}}$

 

Bài này chúng ta có thể đặt $a+b+c=\sqrt[3]{2}=x$ cho dễ nhìn

Ta có : 

$\frac{a}{4}-\frac{a^{2}}{4a+1}=\frac{a}{4(4a+1)}$

$\Rightarrow \frac{x}{4}-\sum \frac{a^{2}}{4a+1}=\sum \frac{a}{4(4a+1)}$

Áp dụng $Cauchy-Schwarz$, ta có :

$\sum \frac{a}{4a+1}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum 4a^{2}+(a+b+c)}=\frac{x^{2}}{\sum 4a^{2}+x}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 

$\frac{x^{2}}{4(\sum 4a^{2}+x)}+\frac{1}{32\sum ab}+\frac{7-2x}{16x^{2}+4x}\geq \frac{x}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{4(\sum 4a^{2}+x)}+\frac{1}{32\sum ab}\geq \frac{x^{2}+2x+1}{4(4x^{2}+x)}$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{\sum 4a^{2}+x}+\frac{1}{8\sum ab}\geq \frac{(x+1)^{2}}{4x^{2}+x}$

 

Áp dụng $Cauchy-Schwarz$, ta có :

$\frac{x^{2}}{\sum 4a^{2}+x}+\frac{1}{8\sum ab}\geq \frac{(x+1)^{2}}{\sum 4a^{2}+8\sum ab+x}=\frac{(x+1)^{2}}{4x^{2}+x}$

Bài toán chứng minh xong. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{x}{3}=\frac{\sqrt[3]{2}}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 16-07-2013 - 10:07