Trường THPT chuyên Từ Trên Trời Rơi Xuống
Kiểm tra học kì III NGỮ VĂN lớp 10
Thời gian : 50'
ĐỀ Số $\pi$
Đề nghị các em học sinh không vi phạm quy chế thi
Làm bài trung thực, đúng đẳng cấp của mình.
Chúc các em thi tốt
Đề bài: 3. Theo như lời nhân vật chrome98 nói tại diễn đàn toán học VMF :
"Cho $a,b,c\in\mathbb{R^+}$ sao cho $a+b+c=4$. Bất đẳng thức sau luôn đúng :
\[ 10\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right) \ge \frac{4+5a}{4-a}+\frac{4+5b}{4-b}+\frac{4+5c}{4-c} \]
"
Hãy giải thích và dùng cổ tích để chứng minh nhận định trên.
$a+b+c=4$
#1
Đã gửi 15-07-2013 - 12:26
- Tienanh tx và holmes2013 thích
#2
Đã gửi 15-07-2013 - 15:19
Trường THPT chuyên Từ Trên Trời Rơi Xuống
Kiểm tra học kì III NGỮ VĂN lớp 10
Thời gian : 50'
ĐỀ Số $\pi$
Đề nghị các em học sinh không vi phạm quy chế thi
Làm bài trung thực, đúng đẳng cấp của mình.
Chúc các em thi tốt
Đề bài: 3. Theo như lời nhân vật chrome98 nói tại diễn đàn toán học VMF :
"Cho $a,b,c\in\mathbb{R^+}$ sao cho $a+b+c=4$. Bất đẳng thức sau luôn đúng :
\[ 10\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right) \ge \frac{4+5a}{4-a}+\frac{4+5b}{4-b}+\frac{4+5c}{4-c} \]
"
Hãy giải thích và dùng cổ tích để chứng minh nhận định trên.
Bài này cậu tự chế à, nói chung là bất đẳng thức này không được chặt cho lắm.
Trước tiên, ta chứng minh bài toán phụ sau :
Bài toán phụ :
Cho các số thực dương $a$,$b$,$c$. Khi đó, bất đẳng thức sau luôn đúng :
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+c}{b+c}+\frac{b+a}{c+a}+\frac{c+b}{a+b}$
Chứng minh :
Sử dụng các hằng đẳng thức sau :
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3=\frac{(a-b)^{2}}{ab}+\frac{(a-c)(b-c)}{ac}$
$\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+a}{c+a}+\frac{c+b}{a+b}-3=\frac{(a-b)^{2}}{(a+c)(b+c)}+\frac{(a-c)(b-c)}{(a+c)(a+b)}$
Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
$[\frac{1}{ab}-\frac{1}{(a+c)(b+c)}](a-b)^{2}+[\frac{1}{ac}-\frac{1}{(a+c)(a+b)}](a-c)(b-c)\geq 0$
Giả sử $c=min${$a$,$b$,$c$}, ta được đpcm.
Trở lại bài toán, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$10\sum \frac{b}{a}\geq \sum \frac{4+5a}{4-a}=\sum (\frac{6a}{b+c}+1)=\sum \frac{6a}{b+c}+3$
Áp dụng bài toán phụ trên, ta có :
$\sum \frac{b}{a}\geq \sum \frac{b+c}{a+c}>\sum \frac{b}{a+c}\Rightarrow 6\sum \frac{b}{a}>6\sum \frac{b}{a+c}$
Theo AM-GM : $\sum \frac{b}{a}\geq 3$
Do đó : $7\sum \frac{b}{a}> \sum \frac{6a}{b+c}+3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 15-07-2013 - 15:50
- nguyencuong123, ongngua97, AnnieSally và 1 người khác yêu thích
"Nothing is impossible"
(Napoleon Bonaparte)
#3
Đã gửi 15-07-2013 - 18:16
Hình như phần mở rộng đó sai rồi phải Nam ạ. ????
Bạn ấy làm đúng rồi mà
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
#4
Đã gửi 15-07-2013 - 18:28
Bạn ấy làm đúng rồi mà
Cậu chứng minh được phần mở rộng ý 1 không ??
#5
Đã gửi 15-07-2013 - 19:10
Cậu chứng minh được phần mở rộng ý 1 không ??
Cách của Nam là ngắn gọn nhất rồi. Còn 1 cách khác nữa ở đây:http://diendantoanhoc.net/index.php?/topic/98955-sum-fracabgeq-sum-fracabac/
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
#6
Đã gửi 15-07-2013 - 19:14
có một cách Schwarz thuần túy đó, các bạn tìm đi nhé. Chính vì nó không chặt lắm, nên không đến nỗi cần dùng phương pháp S.S đâu
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chrome98: 15-07-2013 - 19:15
#7
Đã gửi 15-07-2013 - 19:24
có một cách Schwarz thuần túy đó, các bạn tìm đi nhé. Chính vì nó không chặt lắm, nên không đến nỗi cần dùng phương pháp S.S đâu
http://diendantoanhoc.net/index.php?/topic/98955-sum-fracabgeq-sum-fracabac/
Cách chứng minh dùng C-S đây
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
#8
Đã gửi 15-07-2013 - 21:10
ở bài này thì cách đó ko cần dùng đến Chebyshev và ngắn hơn bài của bạn Nam. Còn 2 bài nữa nhé, mọi người
#9
Đã gửi 15-07-2013 - 21:58
Ai chứng minh cái này cho mình cái, chưa nghĩ ra:
$2\sum \frac{a}{b}+2\sum \frac{b}{a}\geq 6\sum \frac{a}{b+c}+3$
#10
Đã gửi 15-07-2013 - 23:27
Ai chứng minh cái này cho mình cái, chưa nghĩ ra:
$2\sum \frac{a}{b}+2\sum \frac{b}{a}\geq 6\sum \frac{a}{b+c}+3$
Quá dễ mà bạn
Ta có: BĐT tương đương
$\sum 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})-12\geq 6(\sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{2})\Leftrightarrow \sum (a-b)^{2}(\frac{1}{ab}-\frac{3}{2(a+c)(b+c)})\geq 0$
Không mất tính tổng quát,giả sử $a\geq b\geq c$
Ta dễ dàng chứng minh đc $S_{b},S_{a},\geq 0,S_{b}+S_{c}\geq 0$
Lúc này chỉ cần áp dụng tiêu chuẩn 2 ta có đ.p.c.m
TLongHV
#11
Đã gửi 16-07-2013 - 10:25
Sao lại: $\sum 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})-12\geq 6\left (\sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{2})\Leftrightarrow \sum (a-b)^{2}(\frac{1}{ab}-\frac{3}{2(a+c)(b+c)})$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh